Algebraïsche structuren is een vak uit het tweede trimester, gedoceerd door professor Joost van Hamel. Het vak werd in het academiejaar 2006-2007 voor het eerst gegeven aan 1e Bachelor Wiskunde en 1e Bachelor Fysica (waar het een keuzevak is). Er is geen handboek, enkel een cursus, bestaande uit 7 hoofdstukken. Als leerstof wordt een inleiding gegeven tot groeptheorie (groepen, ringen, velden) en ook duale ruimtes en billineaire vormen komen aan bod. Het vak bouwt gedeeltelijk voor op de leerstof van Lineaire Algebra en soms zal professor van Hamel dan ook verwijzen naar het handboek van dat vak, 'Vectoren en Matrices'.

Examens

Examen 24 juni 2008, namiddag

(1) Zij ${\displaystyle G,\times }$ een commutatieve groep, met neutraal element ${\displaystyle e}$. Beschouw twee deelgroepen ${\displaystyle H_1}$ en ${\displaystyle H_2}$. We definiëren dan

${\displaystyle H_1.H_2=\{h_1\times h_2|h_1\in H_1,h_2\in H_2\}}$

a. Bewijs dat ${\displaystyle H_1.H_2}$ een deelgroep is.

b. Als ${\displaystyle H_1}$ en ${\displaystyle H_2}$ beide cyclisch zijn, is ${\displaystyle H_1.H_2}$ dan ook cyclisch? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.

c. Veronderstel nu dat ${\displaystyle G}$ een eindige groep is, en dat ${\displaystyle H_1\cap H_2=\{e\}}$. Bewijs dat de orde van een willekeurig element in ${\displaystyle H_1.H_2}$ kleiner dan of gelijk aan ${\displaystyle kgv\{|H_1|,|H_2|\}}$ is.

(2) Geef en bewijs de stelling van Sylvester voor diagonaliseerbaarheid over ${\displaystyle \mathbb{ℂ}}$.

Examen 24 juni 2008, voormiddag

1:Bereken voor een oneven natuurlijk getal n>1 en ${\displaystyle a\in Z}$ met ggd(a,10)=1 het voorlaatste cijfer in de decimale schrijfwijze van${\displaystyle a^{5n^2{(n+1)}^2}}$

2:Beschrijf de theorie van Reed-Solomoncodes.

3:Geef en bewijs de veralgemeende stelling van Bezout-Bachet.

Examen 5 september 2007

1: Veronderstel een groep G,. met neutraal element e noteren we ${\displaystyle Tor(G)=x\in G|x^n=e}$

• Veronderstel dat G een eindige groep is, wat is dan Tor(G)?
• Toon aan dat als G een abelse groep is, Tor(G) een deelgroep va G is.
• Stel dat G een abelse groep is. Bereken dan Tor(G/Tor(G)). Geef en bewijs hierbij ook het resultaat uit de cursus dat een quotientgroep van een abelse groep wel degelijk een groepsstructuur heeft.
• Beschouw een ring R,+,. waarvoor geldt Tor(R,+)={0}. Toon aan dat er een voor zo'n ring een ringhomomorfisme bestaat ${\displaystyle \varphi :\mathbb{\mathbb{Z}},+,.\to R,+,.}$

2: Beschouw de standaard 4 dimensionale vectorruimte over ${\displaystyle {\mathbb{𝔽}}_5}$

• zij ${\displaystyle \alpha \in {\mathbb{𝔽}}_5}$ willekeurig. Bewijs dat ${\displaystyle \beta =(\alpha ,0,0,0),(0,2\alpha ,0,0),(0,0,3\alpha ,0),(0,0,0,4\alpha )}$ een basis vormt
• Druk de duale basis ${\displaystyle {\beta }^{*}}$ uit in termen van de standaardbasis
• Geef een definitie van duale ruimte. Met welke gekende vectorruimte is ${\displaystyle V^{*}=(({\mathbb{𝔽}}_5{)}^4{)}^{*}}$ isomorf. Als je hierbij een stelling uit de cursus gebruikt, vermeld deze dan nauwkeurig.

3: In deze opgave bekijken we enkele eigenschappen van ringen

• in ${\displaystyle \mathbb{ℝ},+,.}$geldt dat een veelterm van graad n maximaal wortels heeft. Is dit ook zo voor een ring? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
• Geef alle oplossingen van de vergelijking ${\displaystyle x^{11}=1}$ in ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}/37\mathbb{\mathbb{Z}}}$
• Neem 3 willekeurige getallen a,b en p met p een priemgetal. Bewijs dan dat ${\displaystyle \overline{a}x=\overline{b}}$ juist een oplossing heeft als en slechts als ${\displaystyle a\in \mathbb{\mathbb{Z}}/p\mathbb{\mathbb{Z}}}$

Examen 27 juni 2007

1:

• Geef en bewijs de congruentie van Euler en toon aan hoe je hieruit de Kleine Stelling van Fermat kunt halen.
• Is de volgende redenering correct: Neem de vergelijking ${\displaystyle 3^n}$ = 1 mod 17 voor ${\displaystyle n\in \mathbb{\mathbb{Z}}}$. Omdat ggd(3,17)=1 en ${\displaystyle \varphi (17)=16}$ geldt ${\displaystyle 3^n=3^{nmod16}}$ mod 17. Dus n is een oplossing van de vergelijking als en slechts als n = 0 mod 16 . Indien de redenering niet juist is, geef dan de correcte oplossingsverzameling.

2:

• Zij ${\displaystyle G}$ een groep waarvan alle elementen orde 1 of 2 hebben. Bewijs dat ${\displaystyle G}$ abels is.
• Is ${\displaystyle G}$ isomorf met ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}/2\mathbb{\mathbb{Z}}}$ ?

(Ik denk dat hier wat "gegevens" ontbreken, vb G kan ook alleen e bevatten enz, kdenk dat er bij moet staan orde G >=2) 3:

• Zij ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$ twee priemgetallen met ${\displaystyle q>p}$, zodanig dat ${\displaystyle \alpha =\sqrt{pq-1}}$ priem is.
• Bewijs dat ${\displaystyle p=2}$
• Bestaat de inverse van ${\displaystyle \overline{q}}$ in ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}/\alpha \mathbb{\mathbb{Z}}}$ (of: geef de inverse?)
• Bereken ${\displaystyle (\overline{q}{)}^{-pq}}$ in ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}/\alpha \mathbb{\mathbb{Z}}}$.

4:

• Bereken in ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Z}}/26\mathbb{\mathbb{Z}}}$: ${\displaystyle \overline{2}(x^{12}+x)=\overline{4}}$

5: Zij ${\displaystyle F}$ een n x n matrix over een eindig veld met karakteristiek ${\displaystyle p}$ met p een priemgetal, bewijs dat ${\displaystyle F{}^{p-1}=I_n}$ als er n verschillende eigenwaarden zijn van ${\displaystyle F}$ die allemaal in ${\displaystyle (Z/pZ{)}^x}$ zitten.

6:

• geef de definitie van een linker groepactie.
• Definieer de afbeeldingen ${\displaystyle id:\mathbb{ℂ}\to \mathbb{ℂ}:z\to z}$ en ${\displaystyle \overline{id}:\mathbb{ℂ}\to \mathbb{ℂ}:z\to \bar{z}}$. Dan vormt ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }=\{id,\overline{id}\}}$ een groep met als bewerking de samenstelling van functies. Definieer nu de afbeelding ${\displaystyle \oplus :\mathrm{\Gamma }\times {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}\to {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}}$ door ${\displaystyle id\oplus \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ \end{array}\right)}$ en ${\displaystyle \overline{id}\oplus \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\overline{d}& -\overline{c}\\ -\overline{b}& \overline{a}\\ \end{array}\right)}$ Dan is ${\displaystyle \oplus }$ een linker groepsactie. Definieer nu ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}{)}^{\mathrm{\Gamma }}=\{A\in {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}|\mathrm{\forall }\gamma \in \mathrm{\Gamma },\gamma \oplus A=A\}}$. Toon aan dat ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}{)}^{\mathrm{\Gamma }}}$ een lineaire deelruimte is van ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2})}$ beschouwd als reele vectorruimte.
• Vul de verzameling ${\displaystyle {ℬ}=\{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\\ \end{array}\right)\}}$ aan tot een verzameling die zowel een basis is van de reele vectorruimte ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}{)}^{\mathrm{\Gamma }}}$ als van de complexe vectorruimte ${\displaystyle {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}}$.
• Neem nu ${\displaystyle {ℬ}}$ als basis van ${\displaystyle {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}}$. Schrijf de afbeeldingen in ${\displaystyle {{ℬ}}^{*}}$ als lineaire combinaties van de afbeeldingen in de standaard duale basis van ${\displaystyle ({\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}{)}^{*}}$. Dit is de duale basis geassocieerd aan de basis ${\displaystyle \{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right)\}}$ van ${\displaystyle {\mathbb{ℂ}}^{2\times 2}}$.

Proefexamen 2007

De opgavesen de oplossingen