Examen Augustus 2008

De eerste vraag is gesloten boek.

• Veronderstel dat ${\displaystyle [K:\mathbb{\mathbb{Q}}]=n}$. Bewijs dat ${\displaystyle {\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\in K}$ lineair onafhankelijk zijn over ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Q}}}$ als en slechts als ${\displaystyle \mathrm{\Delta }({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)\ne 0}$.
• Ontbind ${\displaystyle 2{{𝒪}}_{\mathbb{\mathbb{Q}}\left({\xi }_{23}\right)}}$ in priemidealen in ${\displaystyle {{𝒪}}_{\mathbb{\mathbb{Q}}\left({\xi }_{23}\right)}}$. Hint: probeer met behulp van kwadratische Gauss-sommen in te zien dat ${\displaystyle \mathbb{\mathbb{Q}}\left(\sqrt{-23}\right)\subseteq \mathbb{\mathbb{Q}}\left({\xi }_{23}\right)}$.
• Zij ${\displaystyle n=p^{\alpha }}$ met ${\displaystyle p}$ priem. Bewijs dat er een priemideaal ${\displaystyle M}$ van graad 1 in ${\displaystyle {{𝒪}}_{\mathbb{\mathbb{Q}}\left({\xi }_n\right)}}$ bestaat zodat ${\displaystyle p{{𝒪}}_{\mathbb{\mathbb{Q}}\left({\xi }_n\right)}=M^{\varphi (n)}}$ en vind ${\displaystyle M}$.
• Zij ${\displaystyle n=p^{\alpha }m}$ met ${\displaystyle p}$ priem en ${\displaystyle ggd(p,m)=1}$. Zij ${\displaystyle P}$ een priemideaal van ${\displaystyle {{𝒪}}_{\mathbb{\mathbb{Q}}\left({\xi }_n\right)}}$ boven ${\displaystyle p}$.
  • Bepaal expliciet de ramificatie-index ${\displaystyle e_P}$, de graad ${\displaystyle f_P}$ en het aantal priemidealen ${\displaystyle g}$ boven ${\displaystyle p}$. Hint: vind ondergrenzen en bewijs gelijkheid.
  • We weten dat ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(\mathbb{\mathbb{Q}}\left({\xi }_n\right):\mathbb{\mathbb{Q}})\cong {\mathbb{\mathbb{Z}}}_n^{\times },\cdot \cong {\mathbb{\mathbb{Z}}}_m^{\times },\cdot \times {\mathbb{\mathbb{Z}}}_{p^{\alpha }}^{\times },\cdot }$. Beschrijf de inertie- en decompositiegroepen van ${\displaystyle P}$ m.b.v. de gegeven multiplicatieve groepen.