Kwantummechanica

Informatie over het examen

Dit vak wordt door professor Indekeu aan 3e bach gegeven.

Het is belangrijk dat je alle details goed kent, want professor Indekeu vraagt op zijn examen achter details. Zo zal zijn vraag nooit enkel gaan over de pagina waar de index van het boek naar verwijst, maar ook over twee zinnen die in een totaal ander hoofdstuk staan maar er toch verband mee houden.

Examenvragen

18 augustus 2008

1. Hoe kan je de golflengte van een bewegend materiedeeltje (in een gas) beïnvloeden door omgevingsfactoren of uitwendige parameters? Geef twee duidelijk verschillende voorbeelden en geef formules en schattingen van numerieke waarden voor golflengte als functie van de relevante omgevings- of uitwendige parameters. (3 ptn)
2. Gebruik een *onzekerheidsrelatie* om de stabiliteit van materie aan te tonen. Begin bij het waterstofatoom. Breidt daarna uw argumenten uit naar atomen met *veel elektronen* en geef ook de aangepaste vorm van de onzekerheidsrelatie. (3ptn)
3. Beschouw de commutator van twee observabelen A en B. Ga na of je hiermee een nieuwe observabele kan vormen. Illustreer je argument met (minstens) twee concrete voorbeelden van commutatierelaties voor bekende fysische observabelen.
4. Atoom in een (uniform) magneetveld. Toon aan dat (8.49) en (8.50) inderdaad impliceren dat de Schrödingervergelijking (8.45) voldaan is voor een toestand van de vorm (8.48). Gebruik hiervoor de gekoppelde differentiaalvergelijkingen die volgen uit (8.45). (3ptn)
5. Dichtheidsoperator in het canonisch ensemble.
   1. Geef de uitdrukking (d.w.z. de definitie) voor de gemiddelde energie <H> met behulp van de dichtheidsoperator
   2. Beschouw de dichtheidsoperatoren verbonden aan de zuivere toestanden $|{\psi }_n>$. Deze toestanden voldoen aan $H|{\psi }_n>=E_n|{\psi }_n>$ (er is geen ontaarding). Druk nu de canonische dichtheidsoperator uit als een superpositie van de dichtheidsoperatoren van de zuivere toestanden. M.a.w. bepaal de juiste coëfficiënten. (2ptn)

De oefening was die van de Van der Waalskrachten tussen atomen (zie hieronder, of zie ook de voorbeeldexamenvragen door de professor gegeven).

14 januari 2008, namiddag

1. In diverse situaties werd gebruik gemaakt van de methode van "scheiding van veranderlijken" bij het oplossen van golfvergelijkingen. Geef drie voorbeelden. Welke wiskundige rol spelen de oplossingen die je zo bekomt? Wat is hun fysische betekenis? (3ptn)
2. In welke drie fysische limieten wordt de transmissiekans voor het tunneleffect klein? Kan je deze drie limieten eenvoudig interpreteren door ze samen te vatten in één fysische voorwaarde? (3ptn)
3. Bereken de toestandsdichtheid dN/dE als functie van E voor vrije elektronen in een doos met ribbe L in twee dimensies,d=2 (veronderstel oneindig hoge potentiaalwanden of periodieke randvoorwaarden). Bereken ook de gemiddelde kinetisch energie als functie van de Fermi-energie. Hoe veranderen deze resulaten voor d=1 en d=3? (4ptn)
4. Toon aan dat [x,p^m] = m(ih/2pi)p^(m-1). Bijvraag: waar hebben we dit soort commutatoren gebruikt? (2ptn)
5. Geef twee voorbeelden, één microscopisch en één macroscopisch, van een fysisch systeem met gecorreleerde spin-en ruimtevariabelen. (3ptn)

Oefening: Bepaal exact de energieniveau's voor de potentiaal (in een dimensie): $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2-qEx$ met q de lading en E het elektrisch veld. Bepaal hiervoor eerst de nieuwe evenwichtspositie die verkregen wordt wanneer het veld wordt aangezet. Maakvervolgens een tekening van de potentiaal met en zonder elektrisch veld. Interpreteer het probleem, herschrijf eventueel de potentiaal op een meer transparante manier en trek verlogens uw conclusie voor wat bertref de eigenwaarden van de Hamiltoniaan. Bijvraag: hoe zien de eigenfuncties er nu uit? Bepaal hiervoor (5ptn)

14 januari 2008, voormiddag

Theorie

1. Hoe kan je de golflengte van een materiedeeltje beïnvloeden door omgevingsfactoren of uitwendige parameters? Geef twee duidelijk verschillende voorbeelden en geef formules en numerieke waarden voor golflengte als functie van de relevante parameters.
2. Gebruik een onzekerheidsrelatie om de stabiliteit van materie aan te tonen. Begin bij het waterstofatoom. Breidt daarna uw argumenten uit naar atomen met veel elektronen.
3. Beschouw de commutator van twee observabelen A en B. Ga na of je hiermee een nieuwe observabele kan vormen. Illustreer je argument met (minstens) twee concrete voorbeelden van commutatierelaties voor bekende fysische observabelen.
4. Atoom in een (uniform)magneetveld. Toon aan dat (8.49) en (8.50) inderdaad impliceren dat de Schrödingervgl. (8.45) voldaan is voor een toestand van de vorm (8.48). Gebruik hiervoor de gekoppelde differentiaalvgl. die volgen uit (8.45).
5. Dichtheidsoperator in het canonische ensemble.
   1. Geef de uitdrukking (d.w.z. de definitie) voor de gemiddelde energie <H> met behulp van de dichtheidsoperator.
   2. Beschouw de dichtheidsoperatoren verbonden aan de zuivere toestanden $|ph{i}_n>$. Deze toestanden voldoen aan H$|{\varphi }_n>=E_n|{\varphi }_n>$(er is geen ontaarding). Druk nu de canonische dichtheidsoperator uit als een superpositie van de dichtheidsoperatoren van de zuivere toestanden. M.a.w. bepaal de juiste coëfficiënten.

Oefening

1. Van der Waalskrachten tussen atomen

Beschouw twee neutrale waterstofatomen op afstand r van elkaar. De uitwijkingen van de elektronen t.o.v. de protonen zijn $x_1$ en $x_2$. De Hamiltoniaan beschrijft de elektronen als eenvoudige harmonische oscillatoren met dippol-dipoolinteractie: H = $H_1$ + $H_2$ + V = $\frac{P_1^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{X}_1^2+\frac{P_2^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{X}_2^2-2\frac{X_1{X}_2{e}^2}{r^3}$

1. 1. Bepaal de energie van de grondtoestand van H. Om deze te berekenen herschrijf je H zorgvuldig in nieuwe coördinaten en nieuwe impulsen:

$X_{+}=\frac{X_1+X_2}{\sqrt{(}2)}$\\ $X_{-}=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{(}2)}$\\ $P_{+}<=>\frac{h}{i}\frac{d}{d{X}_{+}}$\\ $P_{-}<=>\frac{h}{i}\frac{d}{d{X}_{-}}$

1. 1. Bepaal hoe de grondtoestandsenergie afhangt van r in de limiet van zeer grote r. Doe indien nodig een reeksontwikkeling in 1/r. Is er een kracht tussen de atomen?

eerste reeks 2006-2007

Theorie

1. Verklaar de stabiliteit van de materie op 2 verschillende manieren.
2. Opmerking 5, pagina 15: waarom staat hier in general? Verklaar deze affects op een meer preciese manier.
3. Vergelijk periodische randvoorwaarden met gesloten (dit is bij oneindige putten) randvoorwaarden. Geef voor en nadelen
4. Waarom zijn er bij l = n - 1 geen knopen (bij het H-atoom). Interpreteer.
5. In de berekening aan het einde van hoofdstuk 15 staat een berekening voor -µ.B te berekenen. Daarin staat L = r x p, is dit wel correct want er geldt toch niet meer p = mv?

Oefeningen

1. Zij a = (0,x,y) en b = (p_x,0,0). Kwantiseer a, b en a x b (het is gewoon de bedoeling de bijbehorende operator te construeren).
2. Dubbele put met twee elektronen erin. Geef kwalitatief de mogelijke eigenfuncties en de energieniveaus. (Dus geen expliciete berekeningen, gewoon beetje in symbolen weergeven en de energieniveaus op een ladder zetten) Is er interactie (expliciet, impliciet?).

tweede reeks 2006-2007

Theorie

1. Schat \delta x en E_0 voor de harmonische oscillator in één dimensie. Gebruik hiervoor de onzekerheidsrelaties. Vergelijk met de exacte uitkomsten.
2. Potentiaalstap met E > V_0, maar deeltjes komen van op de stap en gaan richting val. Bereken reflectie en transmissie coëfficienten. Beschouw V_0 -> oneindig.
3. Gezever over Brillouinzones: heel moeilijk ;).

Oefeningen

1. Beschouw de ééndimensionale harmonische oscillator. a) Hoe zou je toestanden kunnen krijgen die oscillaties geven voor <X>(t). b) en een breathing mode?
2. Variatie op oefening 6.1 uit het boek.

derde reeks 2006-2007

Theorie

1. (3ptn) Beschouw een vierkante dubbele potentiaalput zoals op figuur 4.7b. Bereken en teken de grondtoestand voor het hypothetische geval E=V_0. Wat is de voorwaarde opdat er bij deze E een oplossing bestaat? Schets ook de eerste aangeslagen toestand, indien deze exact E=V_0 zou hebben.
2. (2ptn) Een resonantieverschijnsel kan begrepen worden in termen van drie frequenties. Geef de oorsprong, betekenis en rol van deze frequenties in een fysisch voorbeeld.
3. (3ptn) Geef twee voorbeelden, één microscopisch en één macroscopisch, van een fysisch systeem met gecorreleerde spin- en ruimtevariabelen.
4. (2ptn) Werk uit: d<R>/dt=... door gebruik te maken van de Hamiltoniaan van een geladen deeltje in een elektromagnetisch veld.
5. (2ptn) Beschouw de dichtheidsoperator van een systeem beschreven in het canonisch ensemble:

• Geef de uitdrukking voor de gemiddelde energie <H>=...

• Druk de dichtheidsoperator uit in termen van de dichtheidsoperatoren van de zuiveren toestanden $|{\phi }_n⟩$, met $H|{\phi }_n⟩=E_n|{\phi }_n⟩$ (geen ontaarding).

Oefening (8ptn)

"Variatierekening"

Gegeven $H|{\phi }_n⟩=E_n|{\phi }_n⟩$, $E_0<E_1<\cdots$ (geen ontaarding)

$⟨H{⟩}_{\psi }=\frac{⟨\psi |H|\psi ⟩}{⟨\psi |\psi ⟩}\ge E_0$ met $⟨H{⟩}_{\psi }$ de verwachtingswaarde en $|\psi ⟩$ een willekeurige toestand.

Beschouw nu de ééndimensionale harmonische oscillator,

$⟨x|H|\psi ⟩=(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2)\psi (x)$

en tracht de grondtoestandsenergie te benaderen door het minimum te zoeken van $|\psi ⟩$ binnen de klasse van toestanden ${\psi }_{\alpha }(x)=e^{-\alpha x^2}$, als functie van $\alpha \in \mathbb{ℝ}$.

Interpreteer de gevonden energie en toestand.

Tip. Gebruik $1=\int dx|x⟩⟨x|$ bij uitwerking van $⟨\psi |H|\psi ⟩$.

eerste reeks tweede zit 2006-2007

Theorie

1. Schat de karakteristieke breedte $\mathrm{\Delta }x$ van de grondtoestand, en de energie ervan, $E_0$, voor de harmonische oscillator in 1 dimensie. Maak gebruik van de onzekerheidsrelatie. Vergelijk je resultaten met die van de exacte oplossing.
2. Laat een flux van deeltjes van links komen en invallen op een potentiaalstap. De deeltjes zijn identiek en hebben $E>V_0$. Bereken de reflectie- en transmissiekans. Bespreek ook het geval $V_0->\inf$ met steeds $E>V_0$ (diepe "val").
3. Beschouw de periodieke potentiaal in 1 dimensie. Gegeven is de dispersierelatie (fig 7.1 p147). Neem voor de eigenfuncties van H de volgende benadering aan: ${\mathrm{\Psi }}_k(x)=u_k(x)sin(kx+\varphi )$, met $u_k(x)$ een constante. Bij $|k|=\mathrm{\Pi }/a$ vinden we twee toestanden met verschillende energie maar dezelfde golflengte, nl. dezelfde k-waarde. Interpreteer. Schets $|\mathrm{\Psi }{|}^2$ voor deze twee toestanden in de periodieke V(x).

Oefeningen

1. Beschouw de grondtoestand $|{\varphi }_1>$ en aangeslagen toestanden $|{\varphi }_2>$ en $|{\varphi }_3>$ van de eendimensionale vierkante putpotentiaal. Welke superpositie vertoont een tijdsonafhankelijke <X>(t), oscillaties in <X>(t) en een "breathing mode" in <X>(t)?
2. Beschouw een molecule met drie atomen in een lineaire keten (Is eigenlijk oefening 6.1 pagina 133 mits enige aanpassing in de vragen) Bestudeer de toestanden van een elektron in deze molecule. Vertrek van de toestanden $|{\mathrm{\Psi }}_L>,|{\mathrm{\Psi }}_M>,|{\mathrm{\Psi }}_R>$ die eigentoestanden zijn van de positieoperator X: $X|{\mathrm{\Psi }}_L>=-d|{\mathrm{\Psi }}_L>;X|{\mathrm{\Psi }}_M>=0;X|{\mathrm{\Psi }}_R>=d|{\mathrm{\Psi }}_R>$. In de basis $(|{\mathrm{\Psi }}_L>,|{\mathrm{\Psi }}_M>,|{\mathrm{\Psi }}_R>)$ is de Hamiltoniaan

$H=\left(\begin{array}{ccc}{E}_0& -a& 0\\ -a& E_0& -a\\ 0& -a& E_0\end{array}\right)$ met a>0.

• Bereken de energieniveaus en de eigentoestanden van H.
• Beschouw de eerste aangeslagen toestand. Wat zijn de kansen om het elektron links, rechts of in het midden aan te treffen.
• Stel dat het elektron in de toestand $|{\mathrm{\Psi }}_M>$ is, en we meten de energie. Welke uitslagen zijn mogelijk, met welke kans? Bereken <H> en $\mathrm{\Delta }H$, alsook <X> en $\mathrm{\Delta }X$ in deze toestand.

eerste reeks 2005-2006

1. (niet meer relevant) Bespreek fotoelectrisch effect aan de hand van volgende gegevens (-> gegeven: 2 golflengten en hun Ek(max)) Bereken de maximale golflengte, de werkfunctie en de constante van Planck.
2. Stel A en B fysische grootheden. Dan is D(A)*D(B)>=alfa Geef 4 voorbeelden (o.a. wanneer tijdsafhankelijke alfa, of alfa=0) Wat is de rol van de toestandsvector?
3. Geef de eigenwaarden van S²=S*S (S is spin). geef ook de gemeenschappelijke basis met Sy
4. Hamiltoniaan H heeft eigenwaarden E0<=E1<=...<=En Stel zijn gemiddelde is <H>=<f|H|f>/<f|f> (f is toestand) Toon aan dat <H> >=E0 -Harmonische oscilator: <x|H|f>=(-h'²/2m*d²/dx²+mw²x²/2)f(x) Kies f in de klasse f(x)=e^(-a*x²) Bereken het minimum van <H> in functie van a en bespreek.

tweede reeks 2005-2006

Theorie:

1. Wat bedoelt men met spin-baan koppeling? Hoe beïnvloedt dat de energieniveaus in het H atoom?
2. Een bundel neutrale spin-1/2 deeltjes met magnetisch moment m en snelheid v=(v_x,0,0) wordt onderworpen aan een magnetisch veld B=(B_0+B'z)e_z. Bereken de opsplitsing van de bundel als het magnetisch moment over afstand L actief is.

Oefeniningen:

1. Beschouw spin-1/2 systeem. Wat zijn de eigenwaarden en eigenvectoren van s_x+s_y? Stel dat de meting de hoogste waarde in s_x+s_y oplevert, wat is dan de kans dat je bij meting s_z bij +h/2 terechtkomt?
2. (niet meer relevant) Beschouw een H atoom en stel dat het proton in plaats van een puntbron voor het Coulombveld te zijn, een uniform geladen sfeer met straal R is. De Coulomb potential wordt dan vervangen door: V(r)=-3/2*e^(2)/R^(3)*(R^(2)-1/3*r^(2)) als r<R<<a_0 V(r)=-e^(2)/r als r>R met a_0 de Bohrse straal. Gebrik stoornisrekenen om de correctie van de energie te wijzigen in het grond niveau. Hoeveel eV is dit als R=10^(-13)cm ?

derde reeks 2005-2006

Theorie

1. Wat zegt het Pauli-principe? Welke zijn de gevolgen voor het samenstellen van 2 elektron spins? Hoe beïnvloedt dat het termschema van het He-atoom?

2. Een elektron ondergaat de invloed van 2 magnetische velden:

$\overrightarrow{B_0}=B_0{\hat{e}}_z$

$\overrightarrow{B_1}=B_1({\hat{e}}_{x}cos(\omega t)+{\hat{e}}_{y}sin(\omega t)$

Op t=0 staat de spin langs de positieve z-as. Bereken, in functie van t, de waarschijnlijkheid om de spin langs de negatieve z-as te vinden (formule van Rabi).

Oefeningen

3. Beschouw 3 niet-identieke deeltjes met spin-1/2 met

$s_z^{(i)}{\chi }_i^{+}=\overline{h}/2{\chi }_i^{+}$

$s_z^{(i)}{\chi }_i^{-}=-\overline{h}/2{\chi }_i^{-}$ i=1,2,3

Zij $\overrightarrow{S}={\overrightarrow{s}}^{(1)}+{\overrightarrow{s}}^{(2)}+{\overrightarrow{s}}^{(3)}$ de totale spin. Welke zijn, in termen van de ${\chi }_i^{\pm }$, de genormeerde eigentoestanden van ${\overrightarrow{S}}^2$ en $S_z$?

4. De operator

$s_r=\frac{\overrightarrow{s}.\overrightarrow{r}}{r}$

is de component van de elektronspin in de richting van de vector $\overrightarrow{r}$. ($r=|\overrightarrow{r}|$).

a) Bewijs dat

$[\overrightarrow{s},s_r]=-[\overrightarrow{L},s_r]=i\overline{h}(\frac{\overrightarrow{r}}{r}x\overrightarrow{s})$

b) Welke zijn de genormeerde eigentoestanden van $s_r$ en de bijbehorende eigenwaarden?