Meetkunde 1

Theorievragen

Een lijst met theorievragen die Professor Dillen reeds gesteld heeft, afkomstig uit de examenvragenbundel van Cudi.

Je mag zeker een vraag verwachten waarbij je ofwel de oriÃƒÂ«ntatiebewarende ofwel de oriÃƒÂ«ntatieomkerende isometrieÃƒÂ«n van $𝔼^{2}$ of $𝔼^{3}$ moet classificeren.
Definieer rotatie in $𝔼^{2}$ en $𝔼^{3}$ .
Definieer spiegeling en bewijs dat het een isometrie is.
- Definieer schroefbeweging en rotatie in $𝔼^{3}$ en geef uitgebreid commentaar.
- Bewijs dan dat elke oriÃƒÂ«ntatiebewarende isometrie van $𝔼^{3}$ een translatie of schroefbeweging is.
Zij $F : 𝔼^{n} \to 𝔼^{n}$ een willekeurige afbeelding. Bewijs dat F een isometrie is als en slechts als d(F(p), F(q)) = d(p,q) voor alle $p, q \in 𝔼^{n}$ .
Bewijs de volgende stelling: Zij F een isometrie. Dan bestaat er juist ÃƒÂ©ÃƒÂ©n isometrie G en juist ÃƒÂ©ÃƒÂ©n translatie tb zodat
- $F = t_{b} \circ G$
- $V (G) \neq \emptyset$
- $G_{*} b = b$
Bovendien is dan ook $t_{b} \circ G = G \circ t_{b}$ en V(G) is een affiene deelruimte in de richting van $\ker (F_{*} - I)$ .

Geef het Frenetstelsel voor vlakke krommen en formuleer de congruentiestelling. Vergelijk het Frenetstelsel van congruente krommen met dat van booglengtegeparamatriseerde krommen.
Bewijs dat een reguliere kromme in $𝔼^{3}$ een vlakke kromme is als en slechts als de torsie 0 is.
- In $𝔼^{2}$ . Toon aan dat de kromming de kromme volledig bepaalt.
- Definieer gesloten krommen en de rotatie-index en verklaar hoe de rotatie-index bepaald kan worden uit de kromming.
- Definieer de cirkelschroeflijn en de cilinderschroeflijn en verklaar de naamgeving.
- Geef de nodige en voldoende voorwaarden voor de kromming en torsie zodat een reguliere kromme een cilinderschroeflijn is.
- Definieer het Frenet-referentiestelsel voor ruimtekrommen en bewijs de formules van Frenet.
- Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor ruimtekrommen.
Formuleer en bewijs de congruentiestelling voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen.
Rechten realiseren de kortste afstand tussen twee punten. Behandel uitvoerig.

Geef een basis voor de richting van de volgende affiene deelruimte van $𝔸^{4}$ :
$x_{1} - x_{3} - x_{4} = - 1$
$x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} = 1$
$x_{2} - x_{3} + x_{4} = 2$
$x_{1} + 3 x_{2} - 4 x_{3} + 2 x_{4} = 5$
Zij S een niet-lege deelverzameling van $𝔸^{n}$ . Toon aan: S is een affiene deelruimte van $𝔸^{n}$ als en slechts als voor elk tweetal punten p, q van S de verbindingsrechte pq tot S behoort.
Zij b, c twee vaste punten in 𝔸2 en L een vaste rechte die bc snijdt in p. Toon aan dat de zwaartepunten van de driehoeken abc, waarbij a varieert op L \ {p}, steeds tot een vaste rechte behoren. Doe dit
- analytisch;
- synthetisch.
(Voor het synthetisch bewijs mag je alle eigenschappen uit de cursus en de oefenzittingen gebruiken, maar zeg er wel bij welke eigenschap je gebruikt.)