Algebraïsche structuren

Didactisch Team

Academiejaar	Professor(en)	Assistent(en)
2019-2020	Professor1, Professor2	Assistent1, Assistent2
2020-2021	Professor1, Professor2	Assistent1, Assistent2

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Algemene informatie

Algebraïsche structuren is een vak uit het tweede semester. Het vak werd in het academiejaar 2006-2007 voor het eerst gegeven aan studenten van 1e bachelor wiskunde en het is een keuzevak in de bachelor fysica. Tot het academiejaar 2008-2009 werd het vak gegeven door Raf Cluckers, sinds 2009-2010 is de docent Filip Cools. Vanaf 2014 werd het vak weer gegeven door professor Cluckers. Er is geen handboek, enkel een cursus, bestaande uit vijf hoofdstukken. Als leerstof wordt een inleiding gegeven tot groepentheorie (groepen, ringen, velden) en ook duale ruimtes en bilineaire vormen komen aan bod. Het vak bouwt gedeeltelijk voor op de leerstof van Lineaire Algebra.

Vakevaluatie

Elk puntje hieronder is iemands mening. Verander aub geen puntjes. Als je een andere mening hebt, gelieve ze onderaan toe te voegen.

Kwaliteit cursus (prijs, duidelijkheid, overeenkomst met les, ...)

• 2021: De cursus is duidelijk en komt exact overeen met de les.

Studiebelasting (aantal studiepunten in verhouding met bestede tijd)

• 2021: Sinds 2021 is dit vak 3 studiepunten, maar aan de vakinhouden is er niets veranderd. Dit betekent dat dit vak zeer pittig is.

Plaats binnen de opleiding (nodige voorkennis, overlap met andere vakken, relevantie van het vak,...)

• 2021: Het vak bouwt deels voort op Lineaire Algebra en is een voorloper van het vak Algebra I.

Manier van lesgeven bij hoorcolleges (snelheid, verstaanbaarheid, structuur, nut, ...)

• 2021: De filmpjes van Arne Smeets zijn zeer nuttig.

Evaluatie oefenzittingen/labo's (nut, begeleiding, ...)

• 2021: De oefenzittingen zijn zeer nuttig en zorgen voor een goede voorbereiding op het examen.

Examen (mate waarin het een weerspiegeling is van de cursus, examenvorm, ...)

• 2021:

Informatie over het examen

Het examen van het vak Algebraïsche Structuren bestaat uit twee delen:

• theoriegedeelte: 10 punten - mondeling met schriftelijke voorbereiding,
• oefeningengedeelte: 10 punten - schriftelijk, open boek

Je maakt eerst je theorievragen. Vanaf je je schriftelijke voorbereiding hebt ingediend mag je je cursus gebruiken. Tijdens het mondelinge gedeelte zal professor Cluckers uw antwoord beginnen lezen dat je hebt voorbereid (het is dus van belang dat je het goed en proper opschrijft!). Wanneer hij iets ziet dat niet juist is of als hij vindt dat er wat uitleg mankeert, zal hij je het vermelden en vragen om jezelf te corrigeren. Hij zal hier en daar nog een bijvraagje stellen om te zien in welke mate je de leerstof beheerst. Omdat de theorie op de helft van de punten van het examen staat, mag je ervan uitgaan dat als je de theorie goed gestudeerd hebt je minstens 8/10 voor theorie zal hebben (de bijvragen kunnen je het laatste paar punten kosten). De rest van het examen verloopt dan gewoon schriftelijk en staat ook op 10 van de 20 punten.

Examens

Academiejaar 2021-2022

Examen 23 juni 2022

Examen 26 augustus 2022

Academiejaar 2020-2021

Examen 23 juni 2021

Oplossingen oefeningen

Academiejaar 2019-2020

Examen augustus 2020

Academiejaar 2018-2019

Examen AS 27 Juni 2019

Examen AS 21 augustus 2019

Academiejaar 2017-2018

Examen AS 21 Augustus 2018

Academiejaar 2015-2016

Examen AS 22 juni 2016

Examen AS 23 juni 2016

Academiejaar 2013-2014

19 Augustus 2014

Examen AS 19 Augustus 2014

26 Juni 2014 (NM)

Examen AS 26 Juni 2014 (NM)

Academiejaar 2011-2012

20 augustus 2012 (NM)

Examen 20 augustus 2012 (NM)

28 juni 2012 (NM)

Examen AS 28 juni 2012 (NM)

27 juni 2012 (NM)

Examen AS 27 juni 2012 (NM)

25 juni 2012 (NM)

Examen AS 25 juni 2012 (NM)

Proefexamen 2012

Proefexamen AS 2012

Academiejaar 2010-2011

27 juni 2011

Examen AS 27 juni 2011.

Academiejaar 2009-2010

25 augustus 2010

De eerste drie vragen waren mondeling

1. Zij $G,\ast$ een cyclische groep. Bewijs dat elke deelgroep $H$ van $G$ ook cyclisch is.
2. Definieer de Eulerfunctie. Leid de formule voor $\phi (p^{e})$ af, waarbij $p$ een priemgetal is.
3. Als $K,+,\cdot$ een veld is, dan hebben alle element $x\in K_{0}$ dezelfde additieve orde. Bovendien, als deze orde eindig is, is het een priemgetal. Bijvragen: waarom is $x\cdot (n\cdot y)=(x\cdot n)\cdot y$, waarom is $(u1)\cdot (v1)=(uv)1$.
4. Werk uit: $5^{2011}\cdot 3^{999}\mod 56$.
5. Bewijs dat $5^{2011}\cdot 3^{999}$ niet voor alle $x,y\in \mathbb {Z}$ congruent is met $x^{2}+y^{2}\mod 56$. (Tip: denk voor alle $z\in \mathbb {Z}$ aan welke waarde de vergelijking $Z^{2}mod8=x$ aan kan nemen.
6. Zij $G,\ast$ een groep met orde $m$ en zij $\Phi _{n}:G\rightarrow G:x\mapsto \Phi _{n}(x)=x^{n}$.
   • Als gegeven is dat $G$ een commutatieve groep is en dat ${\text{ggd}}(m,n)=1$, bewijs dan dat $\Phi _{n}$ een groepsisomorfisme is.
   • Is het noodzakelijk dat $G,\ast$ commutatief is? Zo ja, waarom? Zo nee, bewijs.
   • Is het noodzakelijk dat ${\text{ggd}}(m,n)=1$? Zo ja, waarom? Zo nee, bewijs.
7. Weet ik niet meer.

Academiejaar 2008-2009

20 augustus 2009

1. Zij V de standaard reële vectorruimte $\mathbb {R} ^{n}$ en veronderstel dat $a_{1},...,a_{n}\in \mathbb {R}$ allen verschillend van 0. Beschouw de kwadratische vorm $Q:V\rightarrow \mathbb {R} :(x_{1},...,x_{n})\rightarrow a_{n}x_{1}^{2}+...+a_{n}x_{n}^{2}$
   • Zij ${\mathcal {E}}$ standaardbasis van $\mathbb {R} ^{n}$. Stel een matrix $R$ op, waar $R$ de Gramm-matrix is ten opzichte van ${\mathcal {E}}$ van de bilineaire vorm geassocieerd aan $Q$.
   • Zij A de matrix van een lineaire afbeelding $f:V\rightarrow V$ ten opzichte van ${\mathcal {E}}$, en zij $R$ zoals hierboven. Noteer in matrix-vorm (namelijk als product van matrices) $f(v)$, $Q(v)$ en $Q(f(v))$ met $v=(v_{1},...,v_{n})$.
   • Definieer $O(V,Q):=\{f:V\rightarrow V|f{\text{ is een lineaire afbeelding en }}$$\forall v\in V:Q(f(v))=Q(v)\}$. Defininieer $det(f)$ van een lineaire afbeelding $f:V\rightarrow V$ als de determinant van de matrix die f definieert. Dit is onafhankelijk van de gekozen basis in V, maar dat hoef je niet aan te tonen. Toon aan dat voor elke $f\in O(V,Q)$ geldt dat $\det(f)=\pm 1$.
   • Definieer $O(V,Q)^{+}:=\{f\in O|\det(f)=1\}$ en $O(V,Q)^{-}:=\{f\in O|\det(f)=-1\}$. Zijn $O(V,Q)^{+}$ en $O(V,Q)^{-}$ deelgroepen van $O(V,Q)$? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld. (De bewerking is de samenstelling)
   • Bereken voor alle in de vorige opgave gevonden deelgroepen de index in $O(V,Q)$
2. • Met de standaard duale basis van $(\mathbb {C} ^{2\times 2})^{\ast }$ bedoelen we de duale basis geassocieerd aan de basis $\{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}$ van $\mathbb {C} ^{2\times 2}$ met $e_{1}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),e_{2}=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right),e_{3}=\left({\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right),e_{4}=\left({\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}}\right)$. Beschouw de basis $B=\left\{\left({\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}}\right),\left({\begin{array}{cc}2&2\\0&0\end{array}}\right),\left({\begin{array}{cc}2&0\\2&0\end{array}}\right),\left({\begin{array}{cc}4&0\\0&0\end{array}}\right)\right\}$ van de $\mathbb {C}$-vectorruimte $\mathbb {C} ^{2\times 2}$
     • Wat is $e_{3}^{*}$ toegepast op $\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)$, waar a, b, c, d complexe getallen zijn?
     • Druk $B^{\ast }$ uit in termen van de standaard duale basis van $(\mathbb {C} ^{2\times 2})^{\ast }$
   • Beschouw de basis $B=\left\{\left({\begin{array}{cc}{\bar {1}}&{\bar {1}}\\{\bar {1}}&{\bar {1}}\end{array}}\right),\left({\begin{array}{cc}{\bar {2}}&{\bar {2}}\\0&0\end{array}}\right),\left({\begin{array}{cc}{\bar {2}}&0\\{\bar {2}}&0\end{array}}\right),\left({\begin{array}{cc}{\bar {4}}&0\\0&0\end{array}}\right)\right\}$ van de $\mathbb {Z} /7\mathbb {Z}$-vectorruimte $\left(\mathbb {Z} /7\mathbb {Z} \right)^{2\times 2}$. Druk $B^{\ast }$ uit in termen van de standaard duale basis van $\left(\mathbb {Z} /7\mathbb {Z} \right)^{2\times 2}$. (Deze standaard duale basis wordt op analoge wijze gedefinieerd als die voor $(\mathbb {C} ^{2\times 2})^{\ast }$.)
3. Zij $n>1$ een natuurlijk getal. Geef en bewijs een criterium wanneer een element $[x]_{n}$ een multiplicatief inverse heeft. Schets een algoritme om zo'n invers te berekenen.

15 juni 2009

1. • Beschrijf een werkwijze (een oplossingswijze, een algoritme, maar niet noodzakelijk efficiënt) om voor een gegeven symmetrische bilineaire vorm $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ op een eindigdimensionale vectorruimte $V$ over een veld $K$ van karakteristiek verschillend van 2 een orthogonale basis te vinden. Geef ook kort aan waarom je oplossing werkt en wat je gebruikt.
   • Alternatieve vraag (voor 2 punten minder): Geef het bewijs voor orthogonaliseerbaarheid van zo'n bilineaire vorm $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ op $V$. Dus bewijs dat er een orthogonale basis bestaat voor deze $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ met voorwaarden zoals gegeven hierboven.
2. Beschrijf de theorie van Reed-Solomoncodes. (Herinnering: dit werkt met polynomen over een eindig veld van beperkte graad.)
3. Bereken $a^{b}\mod n$ en ook $a^{b}\mod an$ voor $a=1003$, $b=240$ en $n=16$. Schrijf goed op wat je gebruikt en waarom het mag!
4. Voor $G,\ast$ een groep, noteer met $G'$ de kleinste deelgroep van $G$ die $\{g_{1}*g_{2}*g_{1}^{-1}*g_{2}^{-1}|g_{1},g_{2}\in G\}$ omvat. Definieer analoog $H'$ voor een groep $H$. zij nu $f:G\rightarrow H$ een groepshomomorfisme
   • Zij $H_{1}$ een deelgroep van $H$. Toon aan dat $f^{-1}(H_{1})$ een deelgroep is van $G$.
   • Bereken $G'$ in het geval dat $G$ een commutatieve groep is.
   • Geef een concreet voorbeeld waarbij $f(G')$ niet gelijk is aan $H'$.
   • Veronderstel dat $f:G\rightarrow H$ een niet-triviaal groepshomomorfisme is, in de zin dat het beeld uit meer bestaat dan alleen maar het neutraal element van $H$. Geef dan (in deze algemene set-up) een voorbeeld van een niet-triviale linker-actie van $g$ op $H$ en toon aan dat het inderdaad aan de axioma's van linker-actie voldoet.

Academiejaar 2007-2008

26 juni 2008

1. Beschouw de lineaire code $C$ over $\mathbb {F} _{2}$ gegeven door de generatorsmatrix $G$ met $G=\left({\begin{matrix}1&1&1&0&1&1&1\\1&0&0&0&0&0&1\\0&1&0&1&0&1&0\end{matrix}}\right)$
   • Bereken alle vectoren van $C$
   • Bereken $d_{min}(C)$
   • Bij het doorsturen van informatie met deze code ontvang je $(1011001)$. Je veronderstelt dat je alle gebeurde fouten kan verbeteren. Wat is dan de doorgestuurde boodschap? Leg je antwoord uit.
2. Geef en bewijs de stelling Bézout-Bachet en de veralgemeende stelling van Bézout-Bachet.
3. Wat is een bilineaire vorm op een vectorruimte? Leg uit.

25 juni 2008 (NM)

1. Zij $G,\ast$ een groep waarin $e_{G}$ het neutraal element is. Voor alle $x\in G$ geldt dat $x^{2}=e_{G}$.
   • Bewijs dat G commutatief is.
   • Is G cyclisch? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
2. Geef en bewijs de Chinese reststelling.
3. Leg het radicaal uit van een K-bilineaire symmetrische ruimte V.

(Ik kreeg op de mondelinge verdediging dan nog de volgende bijvraag: Bestaat er een symmetrische bilineaire vorm op $\mathbb {C}$ zodat $\langle x,x\rangle \neq 0$ voor alle $x\in \mathbb {C}$?)

25 juni 2008 (VM)

1. Voor een $a\in \mathbb {Z}$ noteren we met $a\mathbb {Z}$ de verzameling van de $a$-vouden. Het is eenvoudig in te zien dat dit een deelgroep is van $\mathbb {Z}$ (dit hoef je niet aan te tonen).
   • Toon aan dat elke deelgroep van $\mathbb {Z}$ geschreven kan worden als $a\mathbb {Z}$ voor zekere $a\in \mathbb {Z}$.
   • Voor $b,c\in \mathbb {Z}$ is $b\mathbb {Z} +c\mathbb {Z} :=\{x+y\ |\ x\in b\mathbb {Z} \ ;\ y\in c\mathbb {Z} \}$ ook een deelgroep van$\mathbb {Z}$ (dit is wederom eenvoudig, en moet je niet aantonen). Zoek een $a\in \mathbb {Z}$ zodat $b\mathbb {Z} +c\mathbb {Z} =a\mathbb {Z}$.
2. Geef en bewijs de structuurstelling (ook genaamd de hoofdstelling) voor symmetrische bilineaire vormen. (Herinnering: dit gaat over diagonaalmatrices).

24 juni 2008 (NM)

1. Zij $G,\times$ een commutatieve groep, met neutraal element $e$. Beschouw twee deelgroepen $H_{1}$ en $H_{2}$. We definiëren dan $H_{1}.H_{2}=\{h_{1}\times h_{2}|h_{1}\in H_{1},h_{2}\in H_{2}\}$
   • Bewijs dat $H_{1}.H_{2}$ een deelgroep is.
   • Als $H_{1}$ en $H_{2}$ beide cyclisch zijn, is $H_{1}.H_{2}$ dan ook cyclisch? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
   • Veronderstel nu dat $G$ een eindige groep is, en dat $H_{1}\cap H_{2}=\{e\}$. Bewijs dat de orde van een willekeurig element in $H_{1}.H_{2}$ kleiner dan of gelijk aan $kgv\{|H_{1}|,|H_{2}|\}$ is.
2. Geef en bewijs de stelling van Sylvester voor diagonaliseerbaarheid over $\mathbb {C}$.

24 juni 2008 (VM)

1. Bereken voor een oneven natuurlijk getal n>1 en $a\in Z$ met ggd(a,10)=1 het voorlaatste cijfer in de decimale schrijfwijze van$a^{5n^{2}{(n+1)}^{2}}$.
2. Beschrijf de theorie van Reed-Solomoncodes.
3. Geef en bewijs de veralgemeende stelling van Bezout-Bachet.

Academiejaar 2006-2007

5 september 2007

1. Zij G,. een groep met neutraal element e. We definiëren Tor(G) als de verzameling van alle x in G met eindige orde in G.
   • Veronderstel dat G een eindige groep is, wat is dan Tor(G)?
   • Toon aan dat als G een abelse groep is, Tor(G) een deelgroep va G is.
   • Stel dat G een abelse groep is. Bereken dan Tor(G/Tor(G)). Geef en bewijs hierbij ook het resultaat uit de cursus dat een quotientgroep van een abelse groep wel degelijk een groepsstructuur heeft.
   • Beschouw een ring R,+,. waarvoor geldt Tor(R,+)={0}. Toon aan dat er een voor zo'n ring een ringhomomorfisme bestaat $\phi :\mathbb {Z} ,+,.\to R,+,.$
2. Beschouw de standaard 4 dimensionale vectorruimte over $\mathbb {F} _{5}$
   • zij $\alpha \in \mathbb {F} _{5}$ willekeurig. Bewijs dat $\beta ={(\alpha ,0,0,0),(0,2\alpha ,0,0),(0,0,3\alpha ,0),(0,0,0,4\alpha )}$ een basis vormt
   • Druk de duale basis $\beta ^{*}$ uit in termen van de standaardbasis
   • Geef een definitie van duale ruimte. Met welke gekende vectorruimte is $V^{*}=((\mathbb {F} _{5})^{4})^{*}$ isomorf. Als je hierbij een stelling uit de cursus gebruikt, vermeld deze dan nauwkeurig.
3. In deze opgave bekijken we enkele eigenschappen van ringen
   • in $\mathbb {R} ,+,.$geldt dat een veelterm van graad n maximaal wortels heeft. Is dit ook zo voor een ring? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
   • Geef alle oplossingen van de vergelijking $x^{11}=1$ in $\mathbb {Z} /37\mathbb {Z}$
   • Neem 3 willekeurige getallen a,b en p met p een priemgetal. Bewijs dan dat ${\bar {a}}x={\bar {b}}$ juist een oplossing heeft als en slechts als $a\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$

27 juni 2007

1. • Geef en bewijs de congruentie van Euler en toon aan hoe je hieruit de Kleine Stelling van Fermat kunt halen.
   • Is de volgende redenering correct: Neem de vergelijking $3^{n}$ = 1 mod 17 voor $n\in \mathbb {Z}$. Omdat ggd(3,17)=1 en $\phi (17)=16$ geldt $3^{n}=3^{n\,mod\,16}$ mod 17. Dus n is een oplossing van de vergelijking als en slechts als n = 0 mod 16 . Indien de redenering niet juist is, geef dan de correcte oplossingsverzameling.
2. • Zij $G$ een groep waarvan alle elementen orde 1 of 2 hebben. Bewijs dat $G$ abels is.
   • Is $G$ isomorf met $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$? (Ik denk dat hier wat "gegevens" ontbreken, vb G kan ook alleen e bevatten enz, kdenk dat er bij moet staan orde G >=2)
3. • Zij $p$ en $q$ twee priemgetallen met $q>p$, zodanig dat $\alpha ={\sqrt {pq-1}}$ priem is.
   • Bewijs dat $p=2$
   • Bestaat de inverse van ${\bar {q}}$ in $\mathbb {Z} /\alpha \mathbb {Z}$ (of: geef de inverse?)
   • Bereken $({\bar {q}})^{-pq}$ in $\mathbb {Z} /\alpha \mathbb {Z}$.
4. Bereken in $\mathbb {Z} /26\mathbb {Z}$: ${\bar {2}}(x^{12}+x)={\bar {4}}$
5. Zij $F$ een n x n matrix over een eindig veld met karakteristiek $p$ met p een priemgetal, bewijs dat $F\ ^{p-1}=I_{n}$ als er n verschillende eigenwaarden zijn van $F$ die allemaal in $(Z/pZ)^{x}$ zitten.
6. • geef de definitie van een linker groepactie.
   • Definieer de afbeeldingen $id:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} :z\rightarrow z$ en ${\overline {id}}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} :z\rightarrow {\overline {z}}$. Dan vormt $\Gamma =\{id,{\overline {id}}\}$ een groep met als bewerking de samenstelling van functies. Definieer nu de afbeelding $\oplus :\Gamma \times \mathbb {C} ^{2\times 2}\rightarrow \mathbb {C} ^{2\times 2}$ door $id\oplus \left({\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right)$ en ${\overline {id}}\oplus \left({\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\bar {d}}&-{\bar {c}}\\-{\bar {b}}&{\bar {a}}\\\end{matrix}}\right)$ Dan is $\oplus$ een linker groepsactie. Definieer nu $({\mathbb {C} ^{2\times 2}})^{\Gamma }=\{A\in \mathbb {C} ^{2\times 2}|\,\forall \gamma \in \Gamma ,\,\gamma \oplus A=A\}$. Toon aan dat $({\mathbb {C} ^{2\times 2}})^{\Gamma }$ een lineaire deelruimte is van $(\mathbb {C} ^{2\times 2})$ beschouwd als reele vectorruimte.
   • Vul de verzameling ${\mathcal {B}}=\{\left({\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}0&-1\\1&0\\\end{matrix}}\right)\}$ aan tot een verzameling die zowel een basis is van de reele vectorruimte $({\mathbb {C} ^{2\times 2}})^{\Gamma }$ als van de complexe vectorruimte $\mathbb {C} ^{2\times 2}$.
   • Neem nu ${\mathcal {B}}$ als basis van $\mathbb {C} ^{2\times 2}$. Schrijf de afbeeldingen in ${\mathcal {B}}^{*}$ als lineaire combinaties van de afbeeldingen in de standaard duale basis van $({\mathbb {C} ^{2\times 2}})^{*}$. Dit is de duale basis geassocieerd aan de basis $\{\left({\begin{matrix}1&0\\0&0\\\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}0&1\\0&0\\\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}0&0\\1&0\\\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}0&0\\0&1\\\end{matrix}}\right)\}$ van $\mathbb {C} ^{2\times 2}$.

Proefexamen 2007

Opgaven en oplossingen.