Kansrekenen en statistiek I

Didactisch Team

Academiejaar	Professor(en)	Assistent(en)
2019-2020	Dina Vanpaemel, Tim Verdonck
2020-2021	Jakob Raymaekers

Algemeen

Kansrekenen en Statistiek I is een opleidingsonderdeel van de bachelor wiskunde en fysica, en het deel "Kansrekenen" is een opleidingsonderdeel van de informatica. Zij hebben dus geen Statistiek. Het vak wordt gedoceerd door Jakob Raymaekers. Hij maakt gebruik van de cursus van Tim Verdonck. Het examen is volledig schriftelijk.

Vanaf 2020-2021 zijn Kansrekenen I en Statistiek I opnieuw samengevoegd. Je zal van de jaren ervoor op deze pagina dus enkel het deel Kansrekenen terugvinden.

Vanaf 2011-2012 zijn de vakken 'Statistiek' en 'Kansrekenen' samengevoegd tot "Kansrekenen en Statistiek I" (eerste bachelor) en "Kansrekenen en Statistiek II" (tweede bachelor). Hierin is de vakinhoud lichtjes gewijzigd en wordt er meer aandacht besteed aan de theoretische achtergrond. Stochastische veranderlijken, de voornaamste discrete en continue verdelingen, bivariate verdelingen en de centrale limiet stelling komen onder andere aan bod in Kansrekenen; bij Statistiek gaat het over beschrijvende statistiek, schatters van parameters, betrouwbaarheidsintervallen en hypothesetesten.

Vanaf 2016-2017 was er (bij kansrekenen) geen groot R-project, maar slechts één computerzitting waarmee je 1 bonuspunt kon winnen en een tussentijdse test waarmee je er 2 kon winnen. Het resultaat van het vak werd bepaald als het maximum van alleen het examen te laten meetellen (voor 20), het examen (voor 18) en de test, enzovoort. De bonuspunten worden niet toegepast in de tweede zit.

Vanaf 2017-2018 was er (bij kansrekenen) slechts één computerzitting waarmee je geen bonuspunten kon winnen en een tussentijdse test waarmee je er 2 kon winnen.

Notities

Notities van Syd

Samenvattingen

Samenvatting Jonas Soenen (2016-2017): google docs

Op zich niet direct een samenvatting vooral overzicht van alle stellingen met bewijs erbij. Bewijzen vaak langer met meer uitleg dan in de cursus. Vooral handig als de cursus niet duidelijk genoeg is. (over het algemeen is het een goeie cursus)

Samenvatting Estelle Severs (2020-2021) Theorie Kansrekenen Dit zijn alle letterlijke definities, stellingen, bewijzen, etc vanuit de cursus.

Samenvatting Els Thys (2021-2022) Samenvatting Kansrekenen en Statistiek I Els Digitale samenvatting zonder bewijzen (bij de stellingen staat een verwijzing naar de pagina's waarop de bewijzen staan).

Examens

Academiejaar 2021-2022

Tussentijdse Toets (deel kansrekenen met oplossing)

Academiejaar 2020-2021

Tussentijdse Toets (deel kansrekenen)

Examen (deel kansrekenen en statistiek)

Academiejaar 2019-2020

Examen 23 juni + oplossingen

Examen 19 juni + oplossingen

Proefexamen

Academiejaar 2018-2019

Proefexamen 2018-2019 + oplossingen

Examen 21 juni

Examen 25 juni

Academiejaar 2017-2018

Examen 22 juni

Examen 22 juni (oplossingen)

Tussentijdse test kansrekenen (met oplossingen)

26 juni

LaTeX src

PDF render

PDF systeem

• Vraag 1
  1. bewijs SUM_{n=0}^{+inf} P(X element A_n) <= E[|X|] <= SUM_{n=0}^{+inf} P(X element A_n) + 1
  2. bewijs P(X>=a) <= (1/theta(a)) * E[theta(a)] (chebyshev)
  3. je gooit een fles water 20. De kans dat de fles rechtop land is 10%. Noem X1 het aantal keer dat A rechtop land. Benoem de verdeling en geef de parameters
  4. je gooit vuilnis naar een vuilnisbak. Als je mist raap je het vuilnis op en probeer je opnieuw. De kans dat je raakt is 80%. Noem X2 het aantal keer dat je mist. Benoem de verdeling en geef de parameters
  5. geef de verwachtingswaarde en variantie van X1 + 3*X2. X1 en X2 zijn onafhankelijk.

• Vraag 2: Gegeven een systeem ((A || B) - C) || D (waar (X || Y) in parallel staat en (X -Y) in serie), de faalkansen zijn A = 0.4, B = 0.1, C = 0.3, D = 0.2, allemaal onafhankelijk
  1. Wat is de kans dat het systeem faalt
  2. Als het systeem faalt, wat is de kans dat B faalt

• Vraag 3: Gegeven f_{X,Y} = k*exp(-theta*y) voor -inf <= x <= y <= +inf
  1. bereken k zodat f een verdelingsfunctie is
  2. bereken de marginale verdelingsfuncties van X en Y
  3. bereken f_{X|Y=2}
  4. zijn X en Y onafhankelijk? Toon aan m.b.v je vorige resultaten

• Vraag 4
  1. je koopt 50 rozijnenkoeken. De kans dat een koek meer dan 100 gram weegt is 94%. Wat is de kans dat er meer dan 6 koeken minder dan 100 gram wegen? Je krijgt R-output van enkele normaal- en poissonverdelingen, duidt aan welke je gebruikt om de kans te berekenen.
  2. de reistijd op een treintraject T is lognormaal verdeeld met verwachtingswaarde 60 minuten en standaarddeviatie 20 minuten. Wat is de kans dat een pendelaar op dit traject minder dan 105 minuten onderweg is?

Academiejaar 2016-2017

Tussentijdse test kansrekenen (met oplossingen)

Examen 2017 (overgenomen uit Wiki) Examen 2017 source file

Juni 2017

Kansrekenen

1. Bewijs voor een continue s.v. X dat, voor een kansruimte (omega, A, P), geldt: som(n = 1, oneindig, P(|X| >= n)) <= E[|X|] <= 1 + som(n = 1, oneindig, P(|X| >= n)). [4p]
2. Gegeven een systeem met structuur ((a, b) staat in parallel, (a-b) staat in serie): (0.25, 0.1, (0.3-x)). A is het component met faalkans X. [3p]
   1. Wat is de kans dat het systeem faalt (in functie van x)?
   2. Als het systeem faalt, is de kans dat A faalt 20%. Wat is de kans dat A faalt?
3. In Oostknoktende, een dorp met 200 inwoners, dreigt er een overstroming en er wordt besloten om iedereen te evacueren. De evacuatie begint om 12u00 en de overstroming zelf vindt plaats om 15u00. De tijd die een inwoner neemt om te evacueren, T, is lognormaal verdeeld met verwachtingswaarde 2u (gemeten vanaf 12u00) en standaarddeviatie 0.5u. Deze tijden zijn onafhankelijk en identiek verdeeld per inwoner. [5p]
   1. Laurens woont in Oostknoktende, wat is de kans dat hij niet op tijd geëvacueerd is?
   2. Hoe groot is de kans dat minstens 20 mensen niet op tijd geëvacueerd zijn? Indien je het antwoord op de vorige vraag niet vond kan je aannemen dat deze kans 0.1 is (dit is overigens niet het juiste antwoord).
4. Gegeven een bivariate verdeling met dichtheidsfunctie f_X,Y(x, y) = 3/56*(1 + x)*(1 + y^2) voor 0 < x < 2 en 0 < y < 2. Elders is de dichtheidsfunctie 0. [5p]
   1. Wat is de kans dat 0 < X, Y < 1 en X < Y? (Het gaat hier om een gebeurtenis waarbij alle drie voorwaarden tegelijk voldaan zijn, je moet dus niet drie kansen uitrekenen met telkens één voorwaarde.)
   2. Wat is de marginale dichtheidsfunctie van X?
   3. Wat is de voorwaardelijke dichtheidsfunctie Y|X = x?
5. Gegeven de exponentiële verdeling X1 met f_X1(x) = 1/6*e^(-x/6) voor x > 0 en de chi-kwadraat-verdeling X2 met f_X2(x) = 1/(4*gamma(2))*e^(-x/2) voor x > 0. Wat is de verdeling van X1 + 3*X2? Benoem de verdeling en geef haar parameters. [3p]

Academiejaar 2015-2016

Proefexamen maart 2016

Examen juni 2016

Herexamen augustus 2016

Academiejaar 2014-2015

• Vraag 1: Wat is een BorelAlgebra; geef en bewijs 1 van 2 ongelijkheden van Chebyshev
• Vraag 2: Bivariaat: bereken de kans dat X > Y, voor een gegeven bivariate verdeling.
• Vraag 3: De dichtheidsfunctie van de paretro verdeling is gegeven, weg hoe dat je hier random getallen uit genereerd. E[X] moest hiervan ook berekend worden. Daarna werd een andere variabele Y = log(blablaX) gegeven, hiervan moest de variantie gezocht worden.

• Vraag 4: Je hebt 2x een pot met 10 knikkers, waarvan er telkens 5 witte en 5 zwarte zijn, je neemt er 1 uit de ene en legt die in de andere. Daarna neem je knikker uit de pot waarin je er net een gelegd hebt. Wat is nu de kans dat ze opnieuw terug elk 5 witte en zwarte bevatten?
• Vraag 5: Een vraag over een bakker, je moest hier een kans mee berekenen, in deel 2 van de vraag was R output gegeven en moest je hier je antwoord proberen te maken over een andere vraag over kansen.

Academiejaar 2013-2014

Vragen en oplossing proefexamen: tussentijdse toets 2013-2014

Examenvragen juni 2014

Academiejaar 2012-2013

Examen 2 september 2013

Examen 2 september 2013

Examen 10 juni 2013 (VM)

Examen 10 juni 2013 (VM)

Academiejaar 2011-2012

11 juni 2012

Theorie

• Geef de ongelijkheid van Chebyshev en bewijs een van deze twee ongelijkheden.
• Bepaal de momentgenererende functie van de poissonverdeling met parameter $\lambda$. Bepaal vervolgens door middel van deze functie de verwachtingswaarde en de variantie.
• Waar of niet waar. Leg uit indien juist en verbeter als de uitspraak fout is.

1. Als Cov(X,Y)=0, dan zijn X en Y onafhankelijk.
2. Gegeven zijn universum $\Omega =\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon \}$ en ${\mathcal {C}}=\{\{\alpha ,\beta ,\delta \},\{\delta ,\epsilon \},\{\gamma ,\epsilon \}\}$. Er werd een verzameling gegeven $\sigma ({\mathcal {C}})$ en de vraag was of dit een sigma-algebra was.
3. Indien X en Y normaal verdeeld zijn, dan is de stochastische vector (X,Y) bivariaat normaal verdeeld.

Oefeningen

• Deze oefening was opgebouwd uit verschillende kleine berekeningen waarbij telkens de kans naar een speciefieke gebeurtenis gevraagd werd.
• Deze vraag was gebaseerd op hypothesetesten, type-I en type-II fouten, schatters en betrouwbaarheidsinterval. Met behulp van de uitvoer van R-code (bijgevoegd in het examen) konden deze 4 zaken berekend worden. Het statistisch probleem onderzocht de invloed van een bloeddrukverlagend medicijn. Hierbij waren er 2 groepen, de eerste kreeg het medicijn toegediend en het tweede was de testgroep met een placebo.