Algebraïsche topologie

Ga naar: navigatie, zoeken

Algebraïsche Topologie

Examen van Arne - 22 augustus 2008

  • Bespreek twee van de werkjes. (Kaartje trekken... hier en daar pittige bijvragen!)
  • Bekijk Corollary 1.12 uit de cursustekst over singuliere homologietheorie
    • Werk het bewijs van Corollary 1.12 verder uit.
    • Kan je een analogon formuleren (en bewijzen) voor de fundamentaalgroep?
  • We bewijzen dat elke groep G die vrij ageert op de sfeer S^2 triviaal is of isomorf is met Z/2Z. Werk volgende stappen uit:
    • Aan elk element g van G kunnen we een homeomorfisme m_g: S^2 -> S^2 associëren.
    • We hebben een groepsmorfisme f: G -> {1, -1}: g -> deg(m_g).
    • Elk niet-triviaal element van G wordt door f afgebeeld op -1.
    • Bijgevolg is G triviaal of isomorf met Z/2Z.
      • Bijvragen: wat gebeurt er met S^n met n even? n oneven?
  • Leg de volgende begrippen bondig uit (zonder voorbereiding + hier en daar bijvraagjes).
    • Begrippen: overdekkingsprojectie, enkelvoudig samenhangend (is R \ Z enkelvoudig samenhangend? geef fundamentaalgroep), deformatieretract, homotopie-equivalentie, ...


Examen januari 2007

Prof: Karel Dekimpe Aard: mondeling, open boek Puntenverdeling: 10 punten op werkjes, 5 op een theorievraag, 5 op een soort oefening

In het begin van het examen moet je 3 papiertjes trekken. Eén papiertje bevat 2 getallen tussen 1 en 10, één getal tussen 1 en 5, één tussen 6 en 10. De werkjes met die nummers moet je dan mondeling verdedigen bij Dekimpe. De overige werkjes kijkt ie nadien nog es na, en als er echt iets mis mee is, corrigeert hij achteraf de punten nog. Op het tweede papiertje vind je een theorievraag, en op het derde een oefening.

Het examen is eigenlijk niet zo heel moeilijk ;)

Voorbeeld:

Werkjes: 2 en 9

Theorievraag: verduidelijk punten (2) en (3) van Stelling 51.2 p. 326 in het boek van Munkres

Oefening: zij de torus, zij het projectieve vlak. Bestaat er een overdekkingsprojectie  ? Bestaat er een overdekkingsprojectie  ? Geef een voorbeeld van een boogsamenhangende ruimte met fundamentaalgroep isomorf met .

Examen januari 2006

Examenvragen Tweede Licentie Wiskunde: Algebraïsche Topologie: 1. Bewijs stelling 81.5 uit het boek van Munkres door alle details aan te vullen en de tussenstappen te verklaren. 2. "Werk de details van het volgende bewijs uit." Een Vrije actie van een groep op de sfeer is enkel mogelijk indien de groep triviaal is of isomorf met de groep . 3. Verklaar een deel van de opgegeven opdrachten.