Wiskundige methoden in de natuurkunde

Ga naar: navigatie, zoeken

Algemeen

Het vak bestaat uit verschillende modules. De vragen staan apart per module. Ook de vragen van wiskundige methoden II staan hier, want dit zijn essentieel dezelfde modules.

Examens

Vragen Discrete Symmetrieën

juni 2008

  • Vraag 1

De groep van de quaternionen, gevraagd zijn de deelgroepen, normaaldeler en quotient. En vervolgens ook nog de karaktertabel. Geef een representatie van G op de pauli matrices. Is deze irreducibel?

  • Vraag 2

Een eindige groep G,met bewerking * Definieer nu bewerking ° als: g°h :=h*g

Bewijs dat G met bewerking ° ook een groep is.

Zijn G,* en G,° ismorf?

Wat kan je zeggen over hun irreps?

januari 2007

  • Vraag 1

Bekijk de groep A4, dit is de groep van de even permutaties van 4 elementen. (Meer info was gegeven maar omdat ik geen zin heb om deze over te schrijven verwijs ik naar http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_group). Deze groep is te bekijken als transformaties van een regelmatig tetraëder.

Met welke transformatie komt (123) overeen? En (12)(34)?

De toevoegingsklassen zijn de volgende: C1 = {e}

C2 = {(123), (142), (134), (243)}

C3 = {(132), (124), (143), (234)}

C4 = {(12)(34), (13)(24), (14)(23)}

Zie je een verschil tussen de elementen van C2 en C3? Stel de karaktertabel van A4 op. Gegeven is dat de eerste drie elementen op de eerste rij alledrie 1 zijn. Verder zijn de eerste drie elementen van de tweede kolom 1, w, w²; met

Permutaties zoals (1234) of (12) (die wel in S4 zitten maar niet in A4) komen ook overeen met rigide transformaties van . Zie je een meetkundig verschil met deze uit A4?

  • Vraag 2

We definiëren volgend scalair product op de complexe matrices van dimensie n:

Toon aan dat dit inderdaad een scalair product is.

Neem U een unitaire representatie van een groep G in de complexe matrices van dimensie n. Toon aan dat een unitaire representatie is van G op de matrices met scalair product van hierboven. Hierbij is voor

Kan je een verband vinden tussen het karakter van U en Ad(U)?

Noot: deze representaties worden gebruikt om evolutie en symmetrieën te beschrijven voor kwantumsystemen in het Heisenbergbeeld.

Vragen Markovketens

Januari 2007

  • Vraag 1

Bewijs dat een Markovproces op een een toestandruimte met 2 elementen altijd voldoet aan de voorwaarde van detailled balance. Neem het geval van continue tijd. (PRECISEER zeker wat je gaat bewijzen)

  • Vraag 2

Beschouw het markovproces met waarin voor geldt indien of . In alle andere gevallen is de kans op overgang nul.

Bepaal de stationaire verdeling. (Tip: Denk aan Glauberproces)

  • Vraag 3

We beschouwen het volgende Markovproces (Xt). Er is continue tijd en de toestandruimte is K = {0,1}. De overgangsintensiteiten worden bepaald door reële paramters a en h:

We kiezen . Bereken de verwachtingswaarde van als functie van a en h.

Vragen Potentiaaltheorie in 2D

juni 2008

  • Bereken voor de cirkel met z=|4| volgende integraal:

met . Dan was er nog wat uitleg over het feit dat je voor een willekeurige functie de waarde kon vinden door het aantal nulpunten - het aantal polen, en dit moest je vergelijken met je antwoord.

  • Vraag 2 ging over een spiegellading (naar ik mij herinner equivalent met sectie 3.2.1 uit Griffiths, meer weet ik niet meer, iemand?

Januari 2007

  • Vraag 1

Zoek een analytische functie waarvan het reële deel gelijk is aan sin(x)cosh(y). Lukt het ook om zo'n analytische functie te vinden waarvoor het reële deel gelijk is aan x²y².

  • Vraag 2

Schrijf een Taylor- of Laurentreeks neer voor

  • Vraag 3

Bereken de integraal

Om dit te doen zal je de contour moeten sluiten. Je moet niet bewijzen dat de itnegraal over het andere deel van de contour nul is (maar je mag dat natuurlijk doen als je je niet kan inhouden). Maar je kan de contour langs twee kanten sluiten, leg wel uit waarom je een bpeaalde manier gekoz=en hebt.

  • Vraag 4

nog in te tikken... Dit ging om te verklaren waarom een bepaalde contour gebruikt werd om een bepaalde integraal uit te rekenen.

Vragen Perturbatietheorie

Juni 2008 (wisk meth II)

  • Vraag 1

Deze vraag gaat over voorbeeld 1.2 uit de nota's. We bekijken hier de harmonische oscillator met behulp van de annihilatie- en creatieoperatoren (resp. a en a*). De Hamiltoniaan is dan te schrijven als

Kan je zonder enige berekening te maken iets zeggen over de ligging van de energieniveau's van H tov. ?

Bereken de correctie van eerste orde op de grondtoestandsenergie. Tracht je berekening efficiënt te organiseren. (Nog een hoop verdere uitleg over de creatie en annihilatieoperatoren was gegeven, maar deze is niet echt relevant en eventueel op te zoeken in het handboek kwantummechanica.)

  • Vraag 2

Argumenteer zonder formules te gebruiken dat een nxn matrix die voldoende dicht bij een inverteerbare nxn matrix ligt, zelf inverteerbaar is.

Stel nu dat A en A+B inverteerbare matrices zijn, toon aan dat

Gebruik deze formule om, zoals bij de Dysonreeks, een reeksontwikkeling op te stellen voor rond B = 0. Geef dan een voldoende voorwaarde op de grootte van B opdat deze reeks zou convergeren.

Bereken ten slotte een formule voor de afgeleide van .

Vragen Klassieke Veldentheorie

Juni 2008 (wisk meth II)

  • Vraag 1: De Proca Lagrangiaan

De Proca Lagrangiaanse dichtheid is

Bereken de bewegingsvergelijkingen (je zal deze verderop nodig hebben).

Volg dezelfde procedure als bij de Maxwell Lagrangiaan om de symmetrische energie-momentum tensor te vinden. Toon aan dat volgende formule geldt.

Bereken ook

  • Vraag 2

Bekijk de Poynting vector

Als er geen bronnen zijn geldt er voor deze grootheid een behoudswet

Toon dit aan vanuit de cursus en geef de grootheid u. Hoe verandert dit als er geladen deeltjes aanwezig zijn?