Advanced algebra, algebraic geometry and topology with applications in number theory

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Examenvragen

Jaargang 2009-2010

Dit jaar wordt het vak anders ingevuld: Er was de mogelijkheid om naar een zomerschool te gaan in Soria, Spanje. Hiervoor werd de mogelijkheid aangeboden om dit als vak op te nemen. Uiteindelijk is het hele vak ingericht in functie hiervan. Wouter Castryck was hiervoor verantwoordelijk. Er waren een hele reeks opgaven beschikbaar, elk met een aantal punten bij. De bedoeling was dat je 13 punten bij elkaar opzocht van opgaven, hierover een verslag schrijft en dit indient. Er is ook nog een mondelinge verdediging: je kwam bij hem langs om even enkele vraagjes te beantwoorden.

Examen van 1 september 2009

In 2008-2009 werd het eerste deel van dit vak gegeven door Jan Schepers. Het onderwerp van zijn deel van de cursus was Commutatieve Algebra. Als leidraad werd het beroemde boekje van Atiyah en MacDonald gebruikt, dat we nagenoeg volledig moesten kennen voor het examen. Tijdens het jaar kregen we de opdracht om voor dit deel van de cursus als werktekst een twintigtal opgaven over affiene schema's op te lossen. Ook deze tekst was examenstof.

Het tweede deel werd gegeven door Nansen Petrosyan en ging over groepsacties op topologische ruimten. Hij gebruikte geen cursusnota's, maar het materiaal valt vrij goed terug te vinden in het boek van Bredon, "Topology and geometry". Uit dat boek werden ongeveer volgende paragrafen behandeld: uit Chapter III - §1 (homotopy groups), §2 (the fundamental group), §3 (covering spaces), §5 (the action of ${\pi }_1$ on the fiber), §7 (properly discontinuous actions) en §9 (the Seifert-Van Kampen theorem). Uit Chapter IV een herhaling van de paragrafen §1-5 (de basis over homology groups) en dan §8 (CW-complexes), §10 (cellular homology), §11 (cellular maps) en §13 (Euler's formula). Het materiaal werd zoveel mogelijk gepresenteerd vanuit de context van groepsacties.

Deel 1: Commutatieve algebra

De werktekst over affiene schema's telt mee voor vier van de twintig punten, onderstaande examenvragen waren tien punten waard.

• In deze opgave construeren we het gevezeld product van affiene schema's.
  • Zijn $A,B,R$ ringen en zijn $f:R\to A$ en $g:R\to B$ ringmorfismen die van $A$ en $B$ een $R$-algebra maken. Definieer de afbeeldingen $q_1:A\to A{\otimes }_{R}B:a\mapsto a\otimes 1$ en $q_2:A\to A{\otimes }_{R}B:b\mapsto 1\otimes b$. Bewijs dat het tensorproduct $A{\otimes }_{R}B$ aan de volgende universele eigenschap voldoet: als $C$ een ring is, en $s:A\to C$ en $t:B\to C$ zijn ringmorfismen zodat $s\circ f=t\circ g$, dan bestaat er een uniek ringmorfisme $u:A{\otimes }_{R}B\to C$ zodat $s=u\circ q_1$ en $t=u\circ q_2$.
  • Vertaal de eigenschap die je net bewezen hebt naar de categorie van de affiene schema's. Als $X=\text{Spec }A$, $Y=\text{Spec }B$ en $Z=\text{Spec }R$, dan noemt men $X{\times }_{Z}Y=\text{Spec }(A{\otimes }_{R}B)$ het gevezeld product van $X$ en $Y$ over $Z$.
  • Gebruik tenslotte de vertaling uit het vorige puntje om voor gegeven affiene schema's $V$ en $W$ met gegeven afbeelding $h:W\to V$ op een natuurlijke manier de diagonaalafbeelding $\mathrm{\Delta }:W\to W{\times }_{V}W$ te construeren. Bewijs dat het beeld van $\mathrm{\Delta }$ gesloten is in $W{\times }_{V}W$.
• Zij $A$ een ring en zij $\mathfrak{𝔪}$ een maximaal ideaal van $A$.
  • Bewijs dat de $\mathfrak{𝔪}$-adische completie $\hat{A}$ van $A$ een lokale ring is met maximaal ideaal $\widehat{\mathfrak{𝔪}}$.
  • Welke "gekende" ring is de $\mathfrak{𝔪}{A}_{\mathfrak{𝔪}}$-adische completie van de lokale ring $A_{\mathfrak{𝔪}}$?
• Zij $k$ een veld. Zij $\pi$ de oppervlakte van een cirkel met straal 1.
  • Toon aan dat er een valuatie $\nu$ bestaat op $k(x,y)$ - het veld van rationale functies in $x$ en $y$ - zodat $\nu (x)=1$, $\nu (y)=\pi$ en $\nu (\alpha )=0$ voor $\alpha \in k$.
  • Laat zien dat de valuatiering van $\nu$ niet Noethers is.

Deel 2: Groepsacties in de algebraïsche topologie

De vragen over dit deel waren zes punten waard.

• Zij $n$ een natuurlijk getal. Geef $\mathbb{ℝ}{P}^n$ een handige CW-complex structuur en bereken met behulp van die structuur de homologiegroepen van $\mathbb{ℝ}{P}^n$, eerst met coëfficiëntenring $\mathbb{\mathbb{Z}}$, daarna ook met coëfficiëntenring $\mathbb{\mathbb{Z}}/3\mathbb{\mathbb{Z}}$.
• Classificeer alle eindige groepen die vrij actie kunnen voeren op de cirkel $S^1$.
• Zij $X$ een topologische groep (de definitie was gegeven voor de volledigheid) en zij $\tilde{X}$ een universele overdekkingsruimte van $X$ met overdekkingsprojectie $p:\tilde{X}\to X$. Bewijs met behulp van "path lifting" dat je op een natuurlijke manier de structuur van een topologische groep op $\tilde{X}$ kan leggen zodanig dat de projectie $p$ een homomorfisme van groepen is.