Logica voor Informatici/Oefeningen: verschil tussen versies

Uit Wina Examenwiki
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
← Oudere bewerking
Arno.maris (overleg | bijdragen)
2 bewerkingen
 
(20 tussenliggende versies door 9 gebruikers niet weergegeven)
Regel 8: Regel 8:
Disclaimer: Al zouden volgende oplossingen juist moeten zijn, dit wordt niet gegarandeerd. Waarschijnlijk bestaan er meerdere oplossingen voor bepaalde oefeningen.
Disclaimer: Al zouden volgende oplossingen juist moeten zijn, dit wordt niet gegarandeerd. Waarschijnlijk bestaan er meerdere oplossingen voor bepaalde oefeningen.


==OPLOSSINGEN ZINNEN==
[[Media: Logica_-_zinnen_opstellen.docx | Oplossingen zinnen]]
[[Media: Oplossingen_KE_bewijzen.docx | Oplossingen KE-bewijzen]]


===Academiejaar 2017-2018===
===Academiejaar 2017-2018===
Regel 37: Regel 41:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∀x: Triangle(x) ∧ Small(x)  ⇒ ∀y: Square(y)  ⇒ LeftOf(x,y)
?x: Triangle(x) ? Small(x)  ? ?y: Square(y)  ? LeftOf(x,y)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 49: Regel 53:
Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn:  
Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn:  


∃x: ∃y: Triangle(x) ∧ Square(y);
?x: ?y: Triangle(x) ? Square(y);


∀x: ∃y: Triangle(x) ⇒ [LeftOf(x,y) ∧ Pentagon(y)]  
?x: ?y: Triangle(x) ? [LeftOf(x,y) ? Pentagon(y)]  
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 74: Regel 78:
Construeer een Deca-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn:  
Construeer een Deca-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn:  


∃x: ∃y: Triangle(x) ∧ Square(y);
?x: ?y: Triangle(x) ? Square(y);


∃x: ∀y: x=y
?x: ?y: x=y
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 97: Regel 101:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Pentagon, Square, Small, BackOf):
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Pentagon, Square, Small, BackOf):


Er is minstens één vijfhoek die achter alle kleine vierkanten ligt.
Er is minstens één vijfhoek die achter alle kleine vierkanten ligt.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∃x: Pentagon(x) ∧ ∀y: Square(y) ∧ Small(y) ⇒ BackOf(x,y)
?x: Pentagon(x) ? ?y: Square(y) ? Small(y) ? BackOf(x,y)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 116: Regel 120:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∃x: Square(x) ∧ (¬∀y: Square(y) ⇒ ∀z: Triangle(z) ⇒ Smaller(y,z))
?x: Square(x) ? (¬?y: Square(y) ? ?z: Triangle(z) ? Smaller(y,z))
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 128: Regel 132:
Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn (hier is a een constante-identifier):  
Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn (hier is a een constante-identifier):  


∀x: ∀y: ¬{Square(x) ∧ Triangle(y) ∧ RightOf(x,y)};
?x: ?y: ¬{Square(x) ? Triangle(y) ? RightOf(x,y)};


∃y: Triangle(a) ∧ Triangle(y) ∧ a≠y;
?y: Triangle(a) ? Triangle(y) ? a?y;


∃x: ∃y: Square(x) ∧ Square(y) ∧ x≠y ∧ ∀z: Small(z) ⇒ z=x ∨ z=y;
?x: ?y: Square(x) ? Square(y) ? x?y ? ?z: Small(z) ? z=x ? z=y;


∀x: ¬Large(x) ∧ (Square(x) ⇒ Small(x))
?x: ¬Large(x) ? (Square(x) ? Small(x))


</td>
</td>
Regel 161: Regel 165:
De volgende zin is waar in elke Geo-wereld ( probeer te begrijpen waarom!).  
De volgende zin is waar in elke Geo-wereld ( probeer te begrijpen waarom!).  


∀x: ∃y: Pentagon(x) ∧ Square(y) ⇒ ∀z: Pentagon(z)
?x: ?y: Pentagon(x) ? Square(y) ? ?z: Pentagon(z)


Toon aan dat deze zin niet logisch waar is door een Deca-wereld te construeren waarin die zin vals is.
Toon aan dat deze zin niet logisch waar is door een Deca-wereld te construeren waarin die zin vals is.
Regel 191: Regel 195:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∃x: Pentagon(x) ∧ ∃y: Pentagon(y) ∧ x≠y ∧ ∀z: Triangle(z) ∧ Small(z) ⇒ BackOf(x,z) ∧ BackOf(y,z)
?x: Pentagon(x) ? ?y: Pentagon(y) ? x?y ? ?z: Triangle(z) ? Small(z) ? BackOf(x,z) ? BackOf(y,z)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 203: Regel 207:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers:  Square, BackOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers:  Square, BackOf):  


Op het bord bevindt er zich hoogstens één figuur met de eigenschap dat er geen enkel vierkant achter ligt.
Op het bord bevindt er zich hoogstens één figuur met de eigenschap dat er geen enkel vierkant achter ligt.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∀x: ∀y: (¬∃z: Square(z) ∧ BackOf(z,x)) ∧ (¬∃u: Square(u) ∧ BackOf(u,y)) ⇒ x=y
?x: ?y: (¬?z: Square(z) ? BackOf(z,x)) ? (¬?u: Square(u) ? BackOf(u,y)) ? x=y
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 220: Regel 224:
Minstens twee grote vierkanten hebben elk niets aan hun linkerkant tenzij (eventueel) vierkanten.  
Minstens twee grote vierkanten hebben elk niets aan hun linkerkant tenzij (eventueel) vierkanten.  


Met "A tenzij B" , bedoelen we "A ∨ B".
Met "A tenzij B" , bedoelen we "A ? B".
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∃x: Square(x) ∧ Large(x) ∧ ∃y: Square(y) ∧ Large(y) ∧ x≠y ∧ (∀z: LeftOf(z,x) ∨ LeftOf(z,y) ⇒ Square(z))
?x: Square(x) ? Large(x) ? ?y: Square(y) ? Large(y) ? x?y ? (?z: LeftOf(z,x) ? LeftOf(z,y) ? Square(z))
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 235: Regel 239:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers:  Triangle, Pentagon, Smaller, BackOf, LeftOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers:  Triangle, Pentagon, Smaller, BackOf, LeftOf):  


Minstens één driehoek bevindt zich links van a en ligt achter elke vijfhoek die kleiner is dan a.
Minstens één driehoek bevindt zich links van a en ligt achter elke vijfhoek die kleiner is dan a.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
∃x: Triangle(x) ∧ LeftOf(x,a) ∧ ∀y: Pentagon(y) ∧ Smaller(y,a) ⇒ BackOf(x,y)
?x: Triangle(x) ? LeftOf(x,a) ? ?y: Pentagon(y) ? Smaller(y,a) ? BackOf(x,y)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 250: Regel 254:
Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren.  
Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren.  


{(∃y: ∀z: P(y,z)) ⇒ ∀z: K(z,z)} ⇒ {(∀z: ∃y: P(y,z)) ⇒ ∀z: K(z,z)}
{(?y: ?z: P(y,z)) ? ?z: K(z,z)} ? {(?z: ?y: P(y,z)) ? ?z: K(z,z)}
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 271: Regel 275:
Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren.  
Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren.  


∀x: ∀y: ∀z: [P(x,y) ⇒ ∀x: P(x,x)] ⇒ [(∃x: P(x,y)) ⇒ P(z,z)]
?x: ?y: ?z: [P(x,y) ? ?x: P(x,x)] ? [(?x: P(x,y)) ? P(z,z)]
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 290: Regel 294:
Toon aan dat de derde zin hieronder geen logisch gevolg is van de eerste twee zinnen, door een geschikte Deca-wereld te construeren.  
Toon aan dat de derde zin hieronder geen logisch gevolg is van de eerste twee zinnen, door een geschikte Deca-wereld te construeren.  


(∃x: ∀y: ¬P(y,x)) ∧ ∃x: ∃y: x≠y;
(?x: ?y: ¬P(y,x)) ? ?x: ?y: x?y;


∀x: ∃y: P(x,y) ∧ S(x) ⇒ P(y,x);
?x: ?y: P(x,y) ? S(x) ? P(y,x);


∃x: ∃y: ¬P(y,x) ∧ ¬S(y)
?x: ?y: ¬P(y,x) ? ¬S(y)
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 315: Regel 319:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Pentagon, Square, BackOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Pentagon, Square, BackOf):  


Er bevindt zich precies één vijfhoek op het bord en die vijfhoek ligt achter alle vierkanten.
Er bevindt zich precies één vijfhoek op het bord en die vijfhoek ligt achter alle vierkanten.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">


∃x: Pentagon(x) ∧ ∀y: Pentagon(y)  ⇒ x=y ∧ ∀z: Square(z) ⇒ BackOf(x,z)
?x: Pentagon(x) ? ?y: Pentagon(y)  ? x=y ? ?z: Square(z) ? BackOf(x,z)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 334: Regel 338:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
∀x: Square(x) ∧ (Medium(x) ∨ ∃y: Medium(y) ∧ BackOf(x,y)) ⇒ ∀z: Triangle(z) ∧ Large(z) ⇒ LeftOf(x,z)
?x: Square(x) ? (Medium(x) ? ?y: Medium(y) ? BackOf(x,y)) ? ?z: Triangle(z) ? Large(z) ? LeftOf(x,z)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 346: Regel 350:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, Pentagon, FrontOf, RightOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, Pentagon, FrontOf, RightOf):  


Minstens één driehoek bevindt zich voor elk vierkant dat rechts van alle vijfhoeken ligt.
Minstens één driehoek bevindt zich voor elk vierkant dat rechts van alle vijfhoeken ligt.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∃x: Triangle(x) ∧ ∀y: Square(y) ∧ (∀z: Pentagon(z) ⇒ RightOf(y,z)) ⇒ FrontOf(x,y)
?x: Triangle(x) ? ?y: Square(y) ? (?z: Pentagon(z) ? RightOf(y,z)) ? FrontOf(x,y)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 361: Regel 365:
Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn (hier is a een constante-identifier):  
Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn (hier is a een constante-identifier):  


∃x: ∃y: x≠y ∧ Triangle(x) ∧ Triangle(y) ∧ [∀z: Square(z) ∧ LeftOf(z,x) ⇒ BackOf(x,z)] ∧ ∀z: Square(z) ∧ LeftOf(z,y) ⇒ BackOf(y,z);
?x: ?y: x?y ? Triangle(x) ? Triangle(y) ? [?z: Square(z) ? LeftOf(z,x) ? BackOf(x,z)] ? ?z: Square(z) ? LeftOf(z,y) ? BackOf(y,z);


¬∃x: ∃y: x≠y ∧ (∀z: Square(z) ⇒ BackOf(x,z)) ∧ ∀z: Square(z) ⇒ BackOf(y,z);
¬?x: ?y: x?y ? (?z: Square(z) ? BackOf(x,z)) ? ?z: Square(z) ? BackOf(y,z);


∃y: ∃z: Square(y) ∧ Square(z) ∧ y≠z ∧ LeftOf(y,a) ∧ BackOf(a,y)
?y: ?z: Square(y) ? Square(z) ? y?z ? LeftOf(y,a) ? BackOf(a,y)


</td>
</td>
Regel 396: Regel 400:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∃x: Square(x) ∧ ∃y: Square(y) ∧ x≠y ∧ ∀z: Triangle(z) ∧ (∀u: Pentagon(u) ⇒ RightOf(z,u)) ⇒ BackOf(x,z) ∧ BackOf(y,z)
?x: Square(x) ? ?y: Square(y) ? x?y ? ?z: Triangle(z) ? (?u: Pentagon(u) ? RightOf(z,u)) ? BackOf(x,z) ? BackOf(y,z)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 410: Regel 414:
Er ligt geen enkele vijfhoek op het bord tenzij het aantal grote figuren links van a precies twee is.  
Er ligt geen enkele vijfhoek op het bord tenzij het aantal grote figuren links van a precies twee is.  


Met "A tenzij B" , bedoelen we "A ∨ B".
Met "A tenzij B" , bedoelen we "A ? B".
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
(¬∃x: Pentagon(x)) ∨ ∃x: ∃y: x≠y ∧ Large(x) ∧ Large(y) ∧ LeftOf(x,a) ∧ LeftOf(y,a) ∧ ∀z: Large(z) ∧ LeftOf(z,a) ⇒ z=x ∨ z=y
(¬?x: Pentagon(x)) ? ?x: ?y: x?y ? Large(x) ? Large(y) ? LeftOf(x,a) ? LeftOf(y,a) ? ?z: Large(z) ? LeftOf(z,a) ? z=x ? z=y
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 428: Regel 432:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
∀x: (∃y: Square(y) ∧ RightOf(y,x) ∧ ∃z: Square(z) ∧ RightOf(z,x) ∧ y≠z) ⇒ Square(x)
?x: (?y: Square(y) ? RightOf(y,x) ? ?z: Square(z) ? RightOf(z,x) ? y?z) ? Square(x)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 440: Regel 444:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, RightOf, FrontOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, RightOf, FrontOf):  


Hoogstens één figuur bevindt zich voor elk vierkant dat rechts van die figuur ligt.
Hoogstens één figuur bevindt zich voor elk vierkant dat rechts van die figuur ligt.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
¬∃x:∃y: x ≠ y ∧ (∀z: Square(z) ⇒ RightOf(z,x) ⇒ FrontOf(x,z)) ∧ (∀z:Square(z) ⇒ RightOf(z,y) ⇒ FrontOf(y,z))
¬?x:?y: x ? y ? (?z: Square(z) ? RightOf(z,x) ? FrontOf(x,z)) ? (?z:Square(z) ? RightOf(z,y) ? FrontOf(y,z))
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 453: Regel 457:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Construeer één Geo-wereld waarin de twee volgende zinnen NIET dezelfde waarheidswaarde hebben:
Construeer één Geo-wereld waarin de twee volgende zinnen NIET dezelfde waarheidswaarde hebben:


∀x: Square(x) ∧ [∀y: Triangle(y) ⇒ RightOf(x,y)] ⇒ Large(x);
?x: Square(x) ? [?y: Triangle(y) ? RightOf(x,y)] ? Large(x);


∀x: Square(x) ∧ [∀y: Triangle(y) ∧ Small(y) ⇒ RightOf(x,y)] ⇒ Large(x)
?x: Square(x) ? [?y: Triangle(y) ? Small(y) ? RightOf(x,y)] ? Large(x)
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 480: Regel 484:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, RightOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, RightOf):  


Alle vierkanten, behalve hoogstens één, bevinden zich rechts van alle driehoeken.
Alle vierkanten, behalve hoogstens één, bevinden zich rechts van alle driehoeken.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
¬∃x:∃y: x ≠ y  ∧ Square(x) ∧ Square(y) ∧ ¬(∀z:Triangle(z) ⇒ RightOf(x,z)) ∧ ¬(∀z:Triangle(z) ⇒ RightOf(y,z))
¬?x:?y: x ? y  ? Square(x) ? Square(y) ? ¬(?z:Triangle(z) ? RightOf(x,z)) ? ¬(?z:Triangle(z) ? RightOf(y,z))
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 498: Regel 502:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
¬∃x:∃y:∃z:x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z ∧ ∃s: Square(s)  ∧ FrontOf(x,s) ∧ FrontOf(y,s) ∧ FrontOf(z,s)
¬?x:?y:?z:x ? y ? x ? z ? y ? z ? ?s: Square(s)  ? FrontOf(x,s) ? FrontOf(y,s) ? FrontOf(z,s)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 510: Regel 514:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, RightOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, RightOf):  


Geen enkel vierkant ligt rechts van minstens één driehoek.
Geen enkel vierkant ligt rechts van minstens één driehoek.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
¬∃x: Square(x) ∧ ∃y:Triangle(y) ∧ RightOf(x,y)
¬?x: Square(x) ? ?y:Triangle(y) ? RightOf(x,y)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 528: Regel 532:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∀x: Small(x) ∧ Triangle(x) ⇒ ∀y: Large(y) ∧ Square(y) ⇒ BackOf(x,y)
?x: Small(x) ? Triangle(x) ? ?y: Large(y) ? Square(y) ? BackOf(x,y)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 540: Regel 544:
Construeer een Geo-wereld waarin de volgende twee zinnen waar zijn:  
Construeer een Geo-wereld waarin de volgende twee zinnen waar zijn:  


¬∀x: ∀y: ∀z: [∃t: BackOf(x,t) ∧ BackOf(y,t) ∧ BackOf(z,t) ∧ Square(t)] ⇒ x=y ∨ x=z ∨ y=z;
¬?x: ?y: ?z: [?t: BackOf(x,t) ? BackOf(y,t) ? BackOf(z,t) ? Square(t)] ? x=y ? x=z ? y=z;
∀x: ∀y: ∀z: [BackOf(x,a) ∧ BackOf(y,a) ∧ BackOf(z,a) ∧ Square(a)] ⇒ x=y ∨ x=z ∨ y=z
?x: ?y: ?z: [BackOf(x,a) ? BackOf(y,a) ? BackOf(z,a) ? Square(a)] ? x=y ? x=z ? y=z
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 561: Regel 565:
Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren:  
Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren:  


[∃x: ∀y: U(x) ⇒ W(y)] ⇔ ∃y: ∀x: U(x) ⇒ W(y)
[?x: ?y: U(x) ? W(y)] ? ?y: ?x: U(x) ? W(y)
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 579: Regel 583:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, Large, LeftOf, BackOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, Large, LeftOf, BackOf):  


Minstens één vierkant heeft iets links van zich liggen waar zich niets groot achter bevindt.  
Minstens één vierkant heeft iets links van zich liggen waar zich niets groot achter bevindt.  
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∃x: Square(x)  ∧ ∃y: LeftOf(y,x)  ∧ ¬∃z: Large(z) ∧ BackOf(z,y)
?x: Square(x)  ? ?y: LeftOf(y,x)  ? ¬?z: Large(z) ? BackOf(z,y)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 594: Regel 598:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, LeftOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, LeftOf):  


Minstens één vierkant bevindt  zich links van alle andere vierkanten.
Minstens één vierkant bevindt  zich links van alle andere vierkanten.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
∃x: Square(x) ∧ ∀y: x ≠ y  ∧ Square(y) ⇒ LeftOf(x,y)
?x: Square(x) ? ?y: x ? y  ? Square(y) ? LeftOf(x,y)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 612: Regel 616:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∀x: Large(x) ∧ ¬(∃y: Triangle(y) ∧ BackOf(y,x)) ⇒ Pentagon(x)
?x: Large(x) ? ¬(?y: Triangle(y) ? BackOf(y,x)) ? Pentagon(x)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 624: Regel 628:
Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren:
Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren:


{(∃y: R(y,y)) ⇒ ∃y: U(y)} ⇒ {(∀y: R(y,y)) ⇒ ∃y: ∀y: U(y)}
{(?y: R(y,y)) ? ?y: U(y)} ? {(?y: R(y,y)) ? ?y: ?y: U(y)}
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 642: Regel 646:
Toon aan dat de derde zin hieronder geen logisch gevolg is van de  eerste twee zinnen, door een geschikte Deca-wereld te construeren:
Toon aan dat de derde zin hieronder geen logisch gevolg is van de  eerste twee zinnen, door een geschikte Deca-wereld te construeren:


∃z: S(z) ∧ ∀y: S(y) ⇒ R(z,y);
?z: S(z) ? ?y: S(y) ? R(z,y);
∀x: ∀y: R(x,y) ⇔ R(y,x);
?x: ?y: R(x,y) ? R(y,x);
(∃x: S(x)) ∧ ∀y: ∀z: S(y) ∧ S(z) ⇒ R(y,z)
(?x: S(x)) ? ?y: ?z: S(y) ? S(z) ? R(y,z)
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 662: Regel 666:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Small, Triangle, Square, Pentagon, LeftOf, BackOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Small, Triangle, Square, Pentagon, LeftOf, BackOf):  


Minstens twee kleine vijfhoeken liggen links van éénzelfde driehoek waar geen enkel vierkant achter ligt.  
Minstens twee kleine vijfhoeken liggen links van éénzelfde driehoek waar geen enkel vierkant achter ligt.  
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∃x: ∃y: x ≠ y ∧ Pentagon(x) ∧ Pentagon(y) ∧ Small(x) ∧ Small(y) ∧ ∃z: Triangle(z) ∧ LeftOf(x,z) ∧ LeftOf(y,z) ∧ ¬(∃s: Square(s) ∧ BackOf(s,z))
?x: ?y: x ? y ? Pentagon(x) ? Pentagon(y) ? Small(x) ? Small(y) ? ?z: Triangle(z) ? LeftOf(x,z) ? LeftOf(y,z) ? ¬(?s: Square(s) ? BackOf(s,z))
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 675: Regel 679:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
(Oefl. 910) Geef een KE-bewijs van de zin


<span style="color: green;">?x: S(x) ? (W(x) ? V(x))</span>
uit de verzameling bestaande uit de volgende zinnen:
<span style="color: green;">¬?x: S(x) ? ?y: P(x,y);</span><br>
<span style="color: green;">?y: ?x: P(y,x) ? V(y) ? W(y)</span>
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 733: Regel 743:
</td>
</td>
</tr>
</tr>
</table>


<tr>
<h3>Chapter 9 </h3>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
<b>Oefening 1</b>
Homework 9
<p>
» ?z: ?y: (?x: K(x,y)) ? P(y,z)  #1: Hypothesis <br>
» ?x: ?y: K(x,y) ? K(y,x)  #2: Hypothesis <br>
» ¬{?x: (?z: K(x,z)) ? ?y: P(x,y)}  #3: NegatedConclusion <br>
» ¬{(?z: K(a,z)) ? ?y: P(a,y)}  #4: ERule(3) <br>
» ?z: K(a,z)  #5: PropRule(4) <br>
» ¬{?y: P(a,y)}  #6: PropRule(4) <br>
» K(a,b)  #7: ERule(5) <br>
» ?y: (?x: K(x,y)) ? P(y,c)  #8: ERule(1) <br>
» ¬{P(a,c)}  #9: ARule(6) <br>
» (?x: K(x,a)) ? P(a,c)  #10: ARule(8) <br>
<br>
Case A  Closed <br>
» ?x: K(x,a)  #11: Case A <br>
» P(a,c)  #13: PropRule(11,10) <br>
» Contradiction: 13,9 <br>
<br>
<br>
Case B  Closed <br>
» ¬{?x: K(x,a)}  #12: Case B <br>
» ¬{K(b,a)}  #19: ARule(12) <br>
» ?y: K(a,y) ? K(y,a)  #20: ARule(2) <br>
» K(a,b) ? K(b,a)  #21: ARule(20) <br>
» ¬{K(a,b)}  #22: PropRule(21,19) <br>
» Contradiction: 22,7<br>
</p>


Exercise 1
<b>Oefening 2</b>
</td>
<p>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
» (?x: U(x)) ? ?y: ?z: (U(y) ? U(z)) ? R(y,z)  #1: Hypothesis  <br>
∀x: (∃z: K(x,z)) ⇒ ∃y: P(x,y)
» ¬{?x: U(x) ? ?y: U(y) ? R(x,y)}  #2: NegatedConclusion <br>
» ?x: U(x)  #3: PropRule(1) <br>
» ?y: ?z: (U(y) ? U(z)) ? R(y,z)  #4: PropRule(1) <br>
» U(a)  #5: ERule(3) <br>
» ¬{U(a) ? ?y: U(y) ? R(a,y)}  #6: ARule(2) <br>
» ¬{?y: U(y) ? R(a,y)}  #7: PropRule(6,5) <br>
» ¬{U(b) ? R(a,b)}  #8: ERule(7) <br>
» ?z: (U(a) ? U(z)) ? R(a,z)  #9: ARule(4) <br>
» (U(a) ? U(b)) ? R(a,b)  #10: ARule(9) <br>
» U(b)  #11: PropRule(8) <br>
» ¬{R(a,b)}  #12: PropRule(8) <br>
<br>
<br>
Case A  Closed <br>
» U(a) ? U(b)  #13: Case A<br>
» R(a,b)  #15: PropRule(13,10) <br>
» Contradiction: 15,12<br>
<br>
<br>
Case B  Closed <br>
» ¬{U(a) ? U(b)}  #14: Case B<br>
» ¬{U(b)}  #17: PropRule(14,5) <br>
» Contradiction: 17,11<br>
</p>
<b>Oefening 3</b> <p>
» ?z: ?y: (?x: U(x)) ? P(z,y)  #1: Hypothesis  <br>
» (?x: P(x,x)) ? ?y: ?z: R(y,z)  #2: Hypothesis <br>
» ¬{?x: (?z: U(z) ? S(x)) ? ?y: S(y) ? R(x,y)}  #3: NegatedConclusion <br>
» ?y: (?x: U(x)) ? P(a,y)  #4: ERule(1) <br>
» ¬{(?z: U(z) ? S(b)) ? ?y: S(y) ? R(b,y)}  #5: ERule(3) <br>
» ?z: U(z) ? S(b)  #6: PropRule(5) <br>
» ¬{?y: S(y) ? R(b,y)}  #7: PropRule(5) <br>
» U(c) ? S(b)  #8: ERule(6) <br>
» U(c)  #9: PropRule(8) <br>
» S(b)  #10: PropRule(8) <br>
<br>
Case A  Closed <br>
» ?x: P(x,x)  #11: Case A<br>
» ?y: ?z: R(y,z)  #13: PropRule(11,2) <br>
» ¬{S(b) ? R(b,b)}  #18: ARule(7) <br>
» ?z: R(b,z)  #19: ARule(13) <br>
» R(b,b)  #20: ARule(19) <br>
» ¬{S(b)}  #21: PropRule(20,18) <br>
» Contradiction: 21,10<br>
<br>
Case B  Closed <br>
» ¬{?x: P(x,x)}  #12: Case B<br>
» (?x: U(x)) ? P(a,a)  #23: ARule(4) <br>
» ¬{P(a,a)}  #24: ARule(12) <br>
» ¬{?x: U(x)}  #25: PropRule(24,23) <br>
» ¬{U(c)}  #26: ARule(25) <br>
» Contradiction: 26,9<br> </p>


uit de verzameling bestaande uit de volgende zinnen:  
<b>Oefening 4</b> <p>
» ?x: ?y: [?z: Pentagon(z) ? BackOf(y,z)] ? LeftOf(x,y)  #1: Hypothesis  <br>
» ?z: Pentagon(z)  #2: Hypothesis <br>
» ¬{?x: ?y: [?z: Pentagon(z) ? BackOf(y,z)] ? LeftOf(x,y)}  #3: NegatedConclusion <br>
» ?y: [?z: Pentagon(z) ? BackOf(y,z)] ? LeftOf(a,y)  #4: ERule(1) <br>
» ¬{?y: [?z: Pentagon(z) ? BackOf(y,z)] ? LeftOf(a,y)}  #5: ARule(3) <br>
» ¬{[?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z)] ? LeftOf(a,b)}  #6: ERule(5) <br>
» ?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z)  #7: PropRule(6) <br>
» ¬{LeftOf(a,b)}  #8: PropRule(6) <br>
» Pentagon(c)  #9: ERule(2) <br>
» Pentagon(c) ? BackOf(b,c)  #10: ARule(7) <br>
» BackOf(b,c)  #11: PropRule(10,9) <br>
» [?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z)] ? LeftOf(a,b)  #12: ARule(4) <br>
<br>
Case A  Closed <br>
» ?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z)  #13: Case A<br>
» LeftOf(a,b)  #15: PropRule(13,12) <br>
» Contradiction: 8,15<br>
<br>
Case B  Closed <br>
» ¬{?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z)}  #14: Case B<br>
» ¬{Pentagon(c) ? BackOf(b,c)}  #17: ARule(14) <br>
» ¬{Pentagon(c)}  #18: PropRule(17,11) <br>
» Contradiction: 18,9 <br></p>


∃z: ∀y: (∃x: K(x,y)) ⇒ P(y,z);
<b>oefening 5</b><p>
∀x: ∀y: K(x,y) ⇒ K(y,x)
» ?x: ?z: S(z) ? ?y: P(y,z) ? R(x,y)   #1: Hypothesis  <br>
</td>
» ?z: S(z)  #2: Hypothesis <br>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
» ¬{?x: ?y: [?z: S(z) ? P(y,z)] ? R(x,y)}  #3: NegatedConclusion <br>
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?><?xml-stylesheet type='text/xsl' href='ProofStylesheet.xslt'?><Proof MaxNr="23" ActivatedCase="B" HomeWorkID="HOMEWORK9" ExerciseID="Exercise1" UserID="LPr0712986" Signature="019716bc60126d4bf4d4df7e5174fa6f438bebc4"><Formula Nr="1" Rule="HypothRule" From="">∃z: ∀y: (∃x: K(x,y)) ⇒ P(y,z)</Formula><Formula Nr="2" Rule="HypothRule" From="">∀x: ∀y: K(x,y) ⇒ K(y,x)</Formula><Formula Nr="3" Rule="NegConclRule" From="">¬{∀x: (∃z: K(x,z)) ⇒ ∃y: P(x,y)}</Formula><Formula Nr="4" Rule="ExistQuantRule" From="3">¬{(∃z: K(a,z)) ⇒ ∃y: P(a,y)}</Formula><Formula Nr="5" Rule="UnaryPropRule" From="4">∃z: K(a,z)</Formula><Formula Nr="6" Rule="UnaryPropRule" From="4">¬{∃y: P(a,y)}</Formula><Formula Nr="7" Rule="ExistQuantRule" From="5">K(a,b)</Formula><Formula Nr="8" Rule="ExistQuantRule" From="1">∀y: (∃x: K(x,y)) ⇒ P(y,c)</Formula><Formula Nr="9" Rule="UnivQuantRule" From="6">¬{P(a,c)}</Formula><Formula Nr="10" Rule="UnivQuantRule" From="8">(∃x: K(x,a)) ⇒ P(a,c)</Formula><Case ID="A" Activated="False" InActivatedBranch="False" Closed="True"><Formula Nr="11" Rule="CaseRule" From="A">∃x: K(x,a)</Formula><Formula Nr="13" Rule="BinaryPropRule" From="11,10">P(a,c)</Formula><Formula Nr="14" Rule="ContradictionRule" From="13,9">Contradiction</Formula></Case><Case ID="B" Activated="True" InActivatedBranch="True" Closed="True"><Formula Nr="12" Rule="CaseRule" From="B">¬{∃x: K(x,a)}</Formula><Formula Nr="19" Rule="UnivQuantRule" From="12">¬{K(b,a)}</Formula><Formula Nr="20" Rule="UnivQuantRule" From="2">∀y: K(a,y) ⇒ K(y,a)</Formula><Formula Nr="21" Rule="UnivQuantRule" From="20">K(a,b) ⇒ K(b,a)</Formula><Formula Nr="22" Rule="BinaryPropRule" From="21,19">¬{K(a,b)}</Formula><Formula Nr="23" Rule="ContradictionRule" From="22,7">Contradiction</Formula></Case></Proof>
» ?z: S(z) ? ?y: P(y,z) ? R(a,y)   #4: ERule(1) <br>
</td>
» S(b)   #5: ERule(2) <br>
</tr>
» ¬{?y: [?z: S(z) ? P(y,z)] ? R(a,y)}   #6: ARule(3) <br>
<tr>
» ¬{[?z: S(z) ? P(c,z)] ? R(a,c)}  #7: ERule(6) <br>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
» ?z: S(z) ? P(c,z)   #8: PropRule(7) <br>
 
» ¬{R(a,c)}   #9: PropRule(7) <br>
Exercise 2
» S(b) ? ?y: P(y,b) ? R(a,y)   #10: ARule(4) <br>
</td>
» ?y: P(y,b) ? R(a,y)   #11: PropRule(10,5) <br>
∃x: U(x) ∧ ∀y: U(y) ⇒ R(x,y)
» P(c,b) ? R(a,c)   #12: ARule(11) <br>
 
» ¬{P(c,b)}   #13: PropRule(12,9) <br>
uit de volgende zin:
» S(b) ? P(c,b)   #14: ARule(8) <br>
 
» ¬{S(b)}   #15: PropRule(14,13) <br>
(∃x: U(x)) ∧ ∀y: ∀z: (U(y) ∧ U(z)) ⇒ R(y,z)
» Contradiction: 15,5 <br>
</td>
</p>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?><?xml-stylesheet type='text/xsl' href='ProofStylesheet.xslt'?><Proof MaxNr="18" ActivatedCase="B" HomeWorkID="HOMEWORK9" ExerciseID="Exercise2" UserID="LPr0712986" Signature="fb941b76732e861825e4788dc3e3963e13839288"><Formula Nr="1" Rule="HypothRule" From="">(∃x: U(x)) ∧ ∀y: ∀z: (U(y) ∧ U(z)) ⇒ R(y,z)</Formula><Formula Nr="2" Rule="NegConclRule" From="">¬{∃x: U(x) ∧ ∀y: U(y) ⇒ R(x,y)}</Formula><Formula Nr="3" Rule="UnaryPropRule" From="1">∃x: U(x)</Formula><Formula Nr="4" Rule="UnaryPropRule" From="1">∀y: ∀z: (U(y) ∧ U(z)) ⇒ R(y,z)</Formula><Formula Nr="5" Rule="ExistQuantRule" From="3">U(a)</Formula><Formula Nr="6" Rule="UnivQuantRule" From="2">¬{U(a) ∧ ∀y: U(y) ⇒ R(a,y)}</Formula><Formula Nr="7" Rule="BinaryPropRule" From="6,5">¬{∀y: U(y) ⇒ R(a,y)}</Formula><Formula Nr="8" Rule="ExistQuantRule" From="7">¬{U(b) ⇒ R(a,b)}</Formula><Formula Nr="9" Rule="UnivQuantRule" From="4">∀z: (U(a) ∧ U(z)) ⇒ R(a,z)</Formula><Formula Nr="10" Rule="UnivQuantRule" From="9">(U(a) ∧ U(b)) ⇒ R(a,b)</Formula><Formula Nr="11" Rule="UnaryPropRule" From="8">U(b)</Formula><Formula Nr="12" Rule="UnaryPropRule" From="8">¬{R(a,b)}</Formula><Case ID="A" Activated="False" InActivatedBranch="False" Closed="True"><Formula Nr="13" Rule="CaseRule" From="A">U(a) ∧ U(b)</Formula><Formula Nr="15" Rule="BinaryPropRule" From="13,10">R(a,b)</Formula><Formula Nr="16" Rule="ContradictionRule" From="15,12">Contradiction</Formula></Case><Case ID="B" Activated="True" InActivatedBranch="True" Closed="True"><Formula Nr="14" Rule="CaseRule" From="B">¬{U(a) ∧ U(b)}</Formula><Formula Nr="17" Rule="BinaryPropRule" From="14,5">¬{U(b)}</Formula><Formula Nr="18" Rule="ContradictionRule" From="17,11">Contradiction</Formula></Case></Proof>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">


Exercise 3
<h3>Chapter 10 </h3>
</td>
<b>Oefening 1</b>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<p>
 
?x: ?a: ?b: U(x) ? ((W(a) ? ¬R(b,y)) ? (R(x,y) ? ¬W(x)))
</td>
</p>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<b>Oefening 2</b>
 
<p>
</td>
?x: ?a: ?b: ?c: ?d:?e: (U(x) ? (¬W(a) ? ¬R(b,y))) ?  (¬U(c) ? W(d) ? R(e,y))
</tr>
</p>
<tr>
<b>Oefening 3</b>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<p>
 
?z:?x:?y:?a: S(z) ? ([S(a) ? P(y,a)] ? R(x,y) );
Exercise 4
</p>
</td>
<b>Oefening 4</b>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<p>
 
?y:?a:?b:(¬R(a,y) ? ¬V(a)) ? V(b) ? R(y,b)
</td>
</p>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<b>Oefening 5</b>
 
<p>
</td>
?a: ?b: ?c: [W(a) ? ¬R(x,b)] ? U(c)
</tr>
</p>
<tr>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
 
Exercise 5
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
 
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
 
</td>
</tr>
 
</table>


<h3>Chapter 11</h3>
<b>Oefening 1</b>
<p>?x: ?y: Ster(x)  ? x?y ? Ster(y)  ?  Knap(y)  ? (?z: Manager(z,y)  ?  ¬Jaloers(z))  ?  Haat(x,y) </p>


<h3>Chapter 13</h3>
<b>Oefening 1</b>
<p>?y: ¬S(y) ? U(x)</p>
<b>Oefening 2</b>
<p>?x: ?a:?y: ¬P(a,x) ? R(x,y)</p>
<b>Oefening 3</b>
<p>?x: ?a: ?b: ¬P(x,a) ? R(b,y)</p>
<b>Oefening 4</b>
<p>?x: ?y: ?z: ¬S(x) ? U(y) ? S(z)</p>
<b>Oefening 5</b>
<p>?a:?b:?c:?d:¬S(a) ? ¬U(b) ? ¬V(c) ? W(d)</p>


WIP
<h3>Chapter 14</h3>
<b>Oefening 1</b>
<p>?z: ?x: ?y: ¬S(z) ? U(x) ? ¬S(y)</p>

Huidige versie van 5 jan 2021 23:19

Oefeningen (oefenzittingen)

Oplossingen worden op Toledo meegedeeld naarmate het semester vordert.

Huistaken (LogicPalet)

Hier staan de oplossingen voor de oefeningen in Logic Palet. Sommige antwoorden staan in XML formaat, kopieer dit en plak dit in de geo- of deca-wereld.

Disclaimer: Al zouden volgende oplossingen juist moeten zijn, dit wordt niet gegarandeerd. Waarschijnlijk bestaan er meerdere oplossingen voor bepaalde oefeningen.

OPLOSSINGEN ZINNEN

Oplossingen zinnen

Oplossingen KE-bewijzen

Academiejaar 2017-2018

Nummer

Opgave

Oplossing

Homework 1

Exercise 1

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, Small, LeftOf):

Alle kleine driehoeken liggen links van alle vierkanten.

?x: Triangle(x) ? Small(x)  ? ?y: Square(y)  ? LeftOf(x,y)

Homework 1

Exercise 2

Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn:

?x: ?y: Triangle(x) ? Square(y);

?x: ?y: Triangle(x) ? [LeftOf(x,y) ? Pentagon(y)]

<GeoWorld>

<Triangle Size="2" Row="3" Column="3" />

<Square Size="2" Row="4" Column="3" />

<Pentagon Size="2" Row="4" Column="6" />

</GeoWorld>

Homework 1

Exercise 3

Construeer een Deca-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn:

?x: ?y: Triangle(x) ? Square(y);

?x: ?y: x=y

<DecaWorld Size="1">

<UnaryRelation Name="Triangle" Elements="1" />

<UnaryRelation Name="Square" Elements="1" />

</DecaWorld>

Homework 1

Exercise 4

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Pentagon, Square, Small, BackOf):

Er is minstens één vijfhoek die achter alle kleine vierkanten ligt.

?x: Pentagon(x) ? ?y: Square(y) ? Small(y) ? BackOf(x,y)

Homework 1

Exercise 5

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, Smaller):

Er ligt een vierkant, maar niet alle vierkanten zijn kleiner dan alle driehoeken.

?x: Square(x) ? (¬?y: Square(y) ? ?z: Triangle(z) ? Smaller(y,z))

Homework 2

Exercise 1

Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn (hier is a een constante-identifier):

?x: ?y: ¬{Square(x) ? Triangle(y) ? RightOf(x,y)};

?y: Triangle(a) ? Triangle(y) ? a?y;

?x: ?y: Square(x) ? Square(y) ? x?y ? ?z: Small(z) ? z=x ? z=y;

?x: ¬Large(x) ? (Square(x) ? Small(x))

<GeoWorld>

<Square Size="1" Row="4" Column="4" />

<Triangle Size="2" Row="4" Column="5" />

<Square Size="1" Row="5" Column="4" />

<Triangle Size="2" Row="5" Column="5" Name="a" />

</GeoWorld>

Homework 2

Exercise 2

De volgende zin is waar in elke Geo-wereld ( probeer te begrijpen waarom!).

?x: ?y: Pentagon(x) ? Square(y) ? ?z: Pentagon(z)

Toon aan dat deze zin niet logisch waar is door een Deca-wereld te construeren waarin die zin vals is.

<DecaWorld Size="2">

<UnaryRelation Name="Square" Elements="1 2" />

<UnaryRelation Name="Pentagon" Elements="1" />

<Constant Name="nr1" Value="1" />

<Constant Name="nr2" Value="2" />

</DecaWorld>

Homework 2

Exercise 3

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Pentagon, Small, BackOf):

Er zijn minstens twee vijfhoeken die achter alle kleine driehoeken liggen.

?x: Pentagon(x) ? ?y: Pentagon(y) ? x?y  ? ?z: Triangle(z) ? Small(z) ? BackOf(x,z) ? BackOf(y,z)

Homework 2

Exercise 4

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, BackOf):

Op het bord bevindt er zich hoogstens één figuur met de eigenschap dat er geen enkel vierkant achter ligt.

?x: ?y: (¬?z: Square(z) ? BackOf(z,x)) ? (¬?u: Square(u) ? BackOf(u,y)) ? x=y

Homework 2

Exercise 5

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, Large, LeftOf):

Minstens twee grote vierkanten hebben elk niets aan hun linkerkant tenzij (eventueel) vierkanten.

Met "A tenzij B" , bedoelen we "A ? B".

?x: Square(x) ? Large(x) ? ?y: Square(y) ? Large(y) ? x?y ? (?z: LeftOf(z,x) ? LeftOf(z,y) ? Square(z))

Homework 3

Exercise 1

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Pentagon, Smaller, BackOf, LeftOf):

Minstens één driehoek bevindt zich links van a en ligt achter elke vijfhoek die kleiner is dan a.

?x: Triangle(x) ? LeftOf(x,a) ? ?y: Pentagon(y) ? Smaller(y,a) ? BackOf(x,y)

Homework 3

Exercise 2

Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren.

{(?y: ?z: P(y,z)) ? ?z: K(z,z)} ? {(?z: ?y: P(y,z)) ? ?z: K(z,z)}

<DecaWorld Size="2">

<BinaryRelation Name="P" Tuples="(1,1) (2,2)" />

<BinaryRelation Name="K" Tuples="(1,1) " />

</DecaWorld>

Homework 3

Exercise 3

Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren.

?x: ?y: ?z: [P(x,y) ? ?x: P(x,x)] ? [(?x: P(x,y)) ? P(z,z)]

<DecaWorld Size="2">

<BinaryRelation Name="P" Tuples="(1,1)" />

</DecaWorld>

Homework 3

Exercise 4

Toon aan dat de derde zin hieronder geen logisch gevolg is van de eerste twee zinnen, door een geschikte Deca-wereld te construeren.

(?x: ?y: ¬P(y,x)) ? ?x: ?y: x?y;

?x: ?y: P(x,y) ? S(x) ? P(y,x);

?x: ?y: ¬P(y,x) ? ¬S(y)

<DecaWorld Size="2">

<UnaryRelation Name="S" Elements="2 1" />

<BinaryRelation Name="P" Tuples="(1,1) (2,1)" />

</DecaWorld>

Homework 3

Exercise 5

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Pentagon, Square, BackOf):

Er bevindt zich precies één vijfhoek op het bord en die vijfhoek ligt achter alle vierkanten.

?x: Pentagon(x) ? ?y: Pentagon(y)  ? x=y ? ?z: Square(z) ? BackOf(x,z)

Homework 4

Exercise 1

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, Medium, BackOf, LeftOf, Large):

Elk vierkant dat middelmatig is of achter iets middelmatig ligt, bevindt zich links van alle grote driehoeken.

?x: Square(x) ? (Medium(x) ? ?y: Medium(y) ? BackOf(x,y)) ? ?z: Triangle(z) ? Large(z) ? LeftOf(x,z)

Homework 4

Exercise 2

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, Pentagon, FrontOf, RightOf):

Minstens één driehoek bevindt zich voor elk vierkant dat rechts van alle vijfhoeken ligt.

?x: Triangle(x) ? ?y: Square(y) ? (?z: Pentagon(z) ? RightOf(y,z)) ? FrontOf(x,y)

Homework 4

Exercise 3

Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn (hier is a een constante-identifier):

?x: ?y: x?y ? Triangle(x) ? Triangle(y) ? [?z: Square(z) ? LeftOf(z,x) ? BackOf(x,z)] ? ?z: Square(z) ? LeftOf(z,y) ? BackOf(y,z);

¬?x: ?y: x?y ? (?z: Square(z) ? BackOf(x,z)) ? ?z: Square(z) ? BackOf(y,z);

?y: ?z: Square(y) ? Square(z) ? y?z ? LeftOf(y,a) ? BackOf(a,y)

<GeoWorld>

<Square Size="2" Row="2" Column="6" />

<Triangle Size="2" Row="3" Column="4" Name="a" />

<Triangle Size="2" Row="3" Column="5" />

<Square Size="2" Row="4" Column="2" />

<Square Size="2" Row="4" Column="3" />

</GeoWorld>

Homework 4

Exercise 4

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, Pentagon, BackOf, RightOf):

Minstens twee vierkanten liggen achter al de driehoeken die zich rechts van alle vijfhoeken bevinden.

?x: Square(x) ? ?y: Square(y) ? x?y ? ?z: Triangle(z) ? (?u: Pentagon(u) ? RightOf(z,u)) ? BackOf(x,z) ? BackOf(y,z)

Homework 4

Exercise 5

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Pentagon, Large, LeftOf):

Er ligt geen enkele vijfhoek op het bord tenzij het aantal grote figuren links van a precies twee is.

Met "A tenzij B" , bedoelen we "A ? B".

(¬?x: Pentagon(x)) ? ?x: ?y: x?y ? Large(x) ? Large(y) ? LeftOf(x,a) ? LeftOf(y,a) ? ?z: Large(z) ? LeftOf(z,a) ? z=x ? z=y

Homework 5

Exercise 1

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, RightOf):

Alleen maar vierkanten kunnen twee of meer vierkanten rechts van zich liggen hebben.

?x: (?y: Square(y) ? RightOf(y,x) ? ?z: Square(z) ? RightOf(z,x) ? y?z) ? Square(x)

Homework 5

Exercise 2

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, RightOf, FrontOf):

Hoogstens één figuur bevindt zich voor elk vierkant dat rechts van die figuur ligt.

¬?x:?y: x ? y ? (?z: Square(z) ? RightOf(z,x) ? FrontOf(x,z)) ? (?z:Square(z) ? RightOf(z,y) ? FrontOf(y,z))

Homework 5

Exercise 3

Construeer één Geo-wereld waarin de twee volgende zinnen NIET dezelfde waarheidswaarde hebben:

?x: Square(x) ? [?y: Triangle(y) ? RightOf(x,y)] ? Large(x);

?x: Square(x) ? [?y: Triangle(y) ? Small(y) ? RightOf(x,y)] ? Large(x)

<GeoWorld>

<Square Size="1" Row="4" Column="3" />

<Triangle Size="3" Row="4" Column="4" />

<Square Size="3" Row="4" Column="5" />

</GeoWorld>

Homework 5

Exercise 4

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, RightOf):

Alle vierkanten, behalve hoogstens één, bevinden zich rechts van alle driehoeken.

¬?x:?y: x ? y  ? Square(x) ? Square(y) ? ¬(?z:Triangle(z) ? RightOf(x,z)) ? ¬(?z:Triangle(z) ? RightOf(y,z))

Homework 5

Exercise 5

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, FrontOf):

Er zijn hoogstens twee figuren die voor eenzelfde vierkant liggen.

¬?x:?y:?z:x ? y ? x ? z ? y ? z ? ?s: Square(s)  ? FrontOf(x,s) ? FrontOf(y,s) ? FrontOf(z,s)

Homework 6

Exercise 1

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, RightOf):

Geen enkel vierkant ligt rechts van minstens één driehoek.

¬?x: Square(x) ? ?y:Triangle(y) ? RightOf(x,y)

Homework 6

Exercise 2

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, Small, Large, BackOf):

Elke kleine driehoek ligt achter alle grote vierkanten.

?x: Small(x) ? Triangle(x) ? ?y: Large(y) ? Square(y) ? BackOf(x,y)

Homework 6

Exercise 3

Construeer een Geo-wereld waarin de volgende twee zinnen waar zijn:

¬?x: ?y: ?z: [?t: BackOf(x,t) ? BackOf(y,t) ? BackOf(z,t) ? Square(t)] ? x=y ? x=z ? y=z; ?x: ?y: ?z: [BackOf(x,a) ? BackOf(y,a) ? BackOf(z,a) ? Square(a)] ? x=y ? x=z ? y=z

<GeoWorld> 

 <Triangle Size="3" Row="1" Column="3" />
 <Triangle Size="1" Row="1" Column="5" />
 <Square Size="1" Row="3" Column="4" Name="a" />
 <Square Size="2" Row="4" Column="3" />

</GeoWorld>

Homework 6

Exercise 4

Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren:

[?x: ?y: U(x) ? W(y)] ? ?y: ?x: U(x) ? W(y)

<DecaWorld Size="2"> 

 <UnaryRelation Name="U" Elements="1 2" />
 <UnaryRelation Name="W" Elements="1" />

</DecaWorld>

Homework 6

Exercise 5

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, Large, LeftOf, BackOf):

Minstens één vierkant heeft iets links van zich liggen waar zich niets groot achter bevindt.

?x: Square(x)  ? ?y: LeftOf(y,x)  ? ¬?z: Large(z) ? BackOf(z,y)

Homework 7

Exercise 1

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, LeftOf):

Minstens één vierkant bevindt zich links van alle andere vierkanten.

?x: Square(x) ? ?y: x ? y  ? Square(y) ? LeftOf(x,y)

Homework 7

Exercise 2

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Pentagon, BackOf, Large):

Alle grote figuren waar zich geen driehoeken achter bevinden zijn vijfhoeken.

?x: Large(x) ? ¬(?y: Triangle(y) ? BackOf(y,x)) ? Pentagon(x)

Homework 7

Exercise 3

Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren:

{(?y: R(y,y)) ? ?y: U(y)} ? {(?y: R(y,y)) ? ?y: ?y: U(y)}

<DecaWorld Size="2"> 

 <UnaryRelation Name="U" Elements="1" />
 <BinaryRelation Name="R" Tuples="(1,1) (2,2)" />

</DecaWorld>

Homework 7

Exercise 4

Toon aan dat de derde zin hieronder geen logisch gevolg is van de eerste twee zinnen, door een geschikte Deca-wereld te construeren:

?z: S(z) ? ?y: S(y) ? R(z,y); ?x: ?y: R(x,y) ? R(y,x); (?x: S(x)) ? ?y: ?z: S(y) ? S(z) ? R(y,z)

<DecaWorld Size="2"> 

 <UnaryRelation Name="S" Elements="1 2" />
 <BinaryRelation Name="R" Tuples="(1,1) (1,2) (2,1)" />

</DecaWorld>

Homework 7

Exercise 5

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Small, Triangle, Square, Pentagon, LeftOf, BackOf):

Minstens twee kleine vijfhoeken liggen links van éénzelfde driehoek waar geen enkel vierkant achter ligt.

?x: ?y: x ? y ? Pentagon(x) ? Pentagon(y) ? Small(x) ? Small(y) ? ?z: Triangle(z) ? LeftOf(x,z) ? LeftOf(y,z) ? ¬(?s: Square(s) ? BackOf(s,z))

Homework 8

Exercise 1

(Oefl. 910) Geef een KE-bewijs van de zin

?x: S(x) ? (W(x) ? V(x))

uit de verzameling bestaande uit de volgende zinnen:

¬?x: S(x) ? ?y: P(x,y);
?y: ?x: P(y,x) ? V(y) ? W(y)

Homework 8

Exercise 2

Homework 8

Exercise 3

Homework 8

Exercise 4

Homework 8

Exercise 5

Chapter 9

Oefening 1

» ?z: ?y: (?x: K(x,y)) ? P(y,z) #1: Hypothesis
» ?x: ?y: K(x,y) ? K(y,x) #2: Hypothesis
» ¬{?x: (?z: K(x,z)) ? ?y: P(x,y)} #3: NegatedConclusion
» ¬{(?z: K(a,z)) ? ?y: P(a,y)} #4: ERule(3)
» ?z: K(a,z) #5: PropRule(4)
» ¬{?y: P(a,y)} #6: PropRule(4)
» K(a,b) #7: ERule(5)
» ?y: (?x: K(x,y)) ? P(y,c) #8: ERule(1)
» ¬{P(a,c)} #9: ARule(6)
» (?x: K(x,a)) ? P(a,c) #10: ARule(8)

Case A Closed
» ?x: K(x,a) #11: Case A
» P(a,c) #13: PropRule(11,10)
» Contradiction: 13,9


Case B Closed
» ¬{?x: K(x,a)} #12: Case B
» ¬{K(b,a)} #19: ARule(12)
» ?y: K(a,y) ? K(y,a) #20: ARule(2)
» K(a,b) ? K(b,a) #21: ARule(20)
» ¬{K(a,b)} #22: PropRule(21,19)
» Contradiction: 22,7

Oefening 2

» (?x: U(x)) ? ?y: ?z: (U(y) ? U(z)) ? R(y,z) #1: Hypothesis
» ¬{?x: U(x) ? ?y: U(y) ? R(x,y)} #2: NegatedConclusion
» ?x: U(x) #3: PropRule(1)
» ?y: ?z: (U(y) ? U(z)) ? R(y,z) #4: PropRule(1)
» U(a) #5: ERule(3)
» ¬{U(a) ? ?y: U(y) ? R(a,y)} #6: ARule(2)
» ¬{?y: U(y) ? R(a,y)} #7: PropRule(6,5)
» ¬{U(b) ? R(a,b)} #8: ERule(7)
» ?z: (U(a) ? U(z)) ? R(a,z) #9: ARule(4)
» (U(a) ? U(b)) ? R(a,b) #10: ARule(9)
» U(b) #11: PropRule(8)
» ¬{R(a,b)} #12: PropRule(8)


Case A Closed
» U(a) ? U(b) #13: Case A
» R(a,b) #15: PropRule(13,10)
» Contradiction: 15,12


Case B Closed
» ¬{U(a) ? U(b)} #14: Case B
» ¬{U(b)} #17: PropRule(14,5)
» Contradiction: 17,11

Oefening 3

» ?z: ?y: (?x: U(x)) ? P(z,y) #1: Hypothesis
» (?x: P(x,x)) ? ?y: ?z: R(y,z) #2: Hypothesis
» ¬{?x: (?z: U(z) ? S(x)) ? ?y: S(y) ? R(x,y)} #3: NegatedConclusion
» ?y: (?x: U(x)) ? P(a,y) #4: ERule(1)
» ¬{(?z: U(z) ? S(b)) ? ?y: S(y) ? R(b,y)} #5: ERule(3)
» ?z: U(z) ? S(b) #6: PropRule(5)
» ¬{?y: S(y) ? R(b,y)} #7: PropRule(5)
» U(c) ? S(b) #8: ERule(6)
» U(c) #9: PropRule(8)
» S(b) #10: PropRule(8)

Case A Closed
» ?x: P(x,x) #11: Case A
» ?y: ?z: R(y,z) #13: PropRule(11,2)
» ¬{S(b) ? R(b,b)} #18: ARule(7)
» ?z: R(b,z) #19: ARule(13)
» R(b,b) #20: ARule(19)
» ¬{S(b)} #21: PropRule(20,18)
» Contradiction: 21,10

Case B Closed
» ¬{?x: P(x,x)} #12: Case B
» (?x: U(x)) ? P(a,a) #23: ARule(4)
» ¬{P(a,a)} #24: ARule(12)
» ¬{?x: U(x)} #25: PropRule(24,23)
» ¬{U(c)} #26: ARule(25)
» Contradiction: 26,9

Oefening 4

» ?x: ?y: [?z: Pentagon(z) ? BackOf(y,z)] ? LeftOf(x,y) #1: Hypothesis
» ?z: Pentagon(z) #2: Hypothesis
» ¬{?x: ?y: [?z: Pentagon(z) ? BackOf(y,z)] ? LeftOf(x,y)} #3: NegatedConclusion
» ?y: [?z: Pentagon(z) ? BackOf(y,z)] ? LeftOf(a,y) #4: ERule(1)
» ¬{?y: [?z: Pentagon(z) ? BackOf(y,z)] ? LeftOf(a,y)} #5: ARule(3)
» ¬{[?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z)] ? LeftOf(a,b)} #6: ERule(5)
» ?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z) #7: PropRule(6)
» ¬{LeftOf(a,b)} #8: PropRule(6)
» Pentagon(c) #9: ERule(2)
» Pentagon(c) ? BackOf(b,c) #10: ARule(7)
» BackOf(b,c) #11: PropRule(10,9)
» [?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z)] ? LeftOf(a,b) #12: ARule(4)

Case A Closed
» ?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z) #13: Case A
» LeftOf(a,b) #15: PropRule(13,12)
» Contradiction: 8,15

Case B Closed
» ¬{?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z)} #14: Case B
» ¬{Pentagon(c) ? BackOf(b,c)} #17: ARule(14)
» ¬{Pentagon(c)} #18: PropRule(17,11)
» Contradiction: 18,9

oefening 5

» ?x: ?z: S(z) ? ?y: P(y,z) ? R(x,y) #1: Hypothesis
» ?z: S(z) #2: Hypothesis
» ¬{?x: ?y: [?z: S(z) ? P(y,z)] ? R(x,y)} #3: NegatedConclusion
» ?z: S(z) ? ?y: P(y,z) ? R(a,y) #4: ERule(1)
» S(b) #5: ERule(2)
» ¬{?y: [?z: S(z) ? P(y,z)] ? R(a,y)} #6: ARule(3)
» ¬{[?z: S(z) ? P(c,z)] ? R(a,c)} #7: ERule(6)
» ?z: S(z) ? P(c,z) #8: PropRule(7)
» ¬{R(a,c)} #9: PropRule(7)
» S(b) ? ?y: P(y,b) ? R(a,y) #10: ARule(4)
» ?y: P(y,b) ? R(a,y) #11: PropRule(10,5)
» P(c,b) ? R(a,c) #12: ARule(11)
» ¬{P(c,b)} #13: PropRule(12,9)
» S(b) ? P(c,b) #14: ARule(8)
» ¬{S(b)} #15: PropRule(14,13)
» Contradiction: 15,5

Chapter 10

Oefening 1

?x: ?a: ?b: U(x) ? ((W(a) ? ¬R(b,y)) ? (R(x,y) ? ¬W(x)))

Oefening 2

?x: ?a: ?b: ?c: ?d:?e: (U(x) ? (¬W(a) ? ¬R(b,y))) ? (¬U(c) ? W(d) ? R(e,y))

Oefening 3

?z:?x:?y:?a: S(z) ? ([S(a) ? P(y,a)] ? R(x,y) );

Oefening 4

?y:?a:?b:(¬R(a,y) ? ¬V(a)) ? V(b) ? R(y,b)

Oefening 5

?a: ?b: ?c: [W(a) ? ¬R(x,b)] ? U(c)

Chapter 11

Oefening 1

?x: ?y: Ster(x)  ? x?y ? Ster(y)  ? Knap(y)  ? (?z: Manager(z,y)  ? ¬Jaloers(z))  ? Haat(x,y)

Chapter 13

Oefening 1

?y: ¬S(y) ? U(x)

Oefening 2

?x: ?a:?y: ¬P(a,x) ? R(x,y)

Oefening 3

?x: ?a: ?b: ¬P(x,a) ? R(b,y)

Oefening 4

?x: ?y: ?z: ¬S(x) ? U(y) ? S(z)

Oefening 5

?a:?b:?c:?d:¬S(a) ? ¬U(b) ? ¬V(c) ? W(d)

Chapter 14

Oefening 1

?z: ?x: ?y: ¬S(z) ? U(x) ? ¬S(y)

Overgenomen van "http://examens.wina.be/index.php?title=Logica_voor_Informatici/Oefeningen&oldid=19919"