Logica voor Informatici/Oefeningen: verschil tussen versies

Uit Wina Examenwiki
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Arthur.bols (overleg | bijdragen)
68 bewerkingen
Encoding gefixt
Regel 37: Regel 37:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∀x: Triangle(x) ∧ Small(x)  ⇒ ∀y: Square(y)  ⇒ LeftOf(x,y)
?x: Triangle(x) ? Small(x)  ? ?y: Square(y)  ? LeftOf(x,y)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 49: Regel 49:
Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn:  
Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn:  


∃x: ∃y: Triangle(x) ∧ Square(y);
?x: ?y: Triangle(x) ? Square(y);


∀x: ∃y: Triangle(x) ⇒ [LeftOf(x,y) ∧ Pentagon(y)]  
?x: ?y: Triangle(x) ? [LeftOf(x,y) ? Pentagon(y)]  
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 74: Regel 74:
Construeer een Deca-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn:  
Construeer een Deca-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn:  


∃x: ∃y: Triangle(x) ∧ Square(y);
?x: ?y: Triangle(x) ? Square(y);


∃x: ∀y: x=y
?x: ?y: x=y
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 97: Regel 97:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Pentagon, Square, Small, BackOf):
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Pentagon, Square, Small, BackOf):


Er is minstens één vijfhoek die achter alle kleine vierkanten ligt.
Er is minstens één vijfhoek die achter alle kleine vierkanten ligt.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∃x: Pentagon(x) ∧ ∀y: Square(y) ∧ Small(y) ⇒ BackOf(x,y)
?x: Pentagon(x) ? ?y: Square(y) ? Small(y) ? BackOf(x,y)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 116: Regel 116:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∃x: Square(x) ∧ (¬∀y: Square(y) ⇒ ∀z: Triangle(z) ⇒ Smaller(y,z))
?x: Square(x) ? (¬?y: Square(y) ? ?z: Triangle(z) ? Smaller(y,z))
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 128: Regel 128:
Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn (hier is a een constante-identifier):  
Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn (hier is a een constante-identifier):  


∀x: ∀y: ¬{Square(x) ∧ Triangle(y) ∧ RightOf(x,y)};
?x: ?y: ¬{Square(x) ? Triangle(y) ? RightOf(x,y)};


∃y: Triangle(a) ∧ Triangle(y) ∧ a≠y;
?y: Triangle(a) ? Triangle(y) ? a?y;


∃x: ∃y: Square(x) ∧ Square(y) ∧ x≠y ∧ ∀z: Small(z) ⇒ z=x ∨ z=y;
?x: ?y: Square(x) ? Square(y) ? x?y ? ?z: Small(z) ? z=x ? z=y;


∀x: ¬Large(x) ∧ (Square(x) ⇒ Small(x))
?x: ¬Large(x) ? (Square(x) ? Small(x))


</td>
</td>
Regel 161: Regel 161:
De volgende zin is waar in elke Geo-wereld ( probeer te begrijpen waarom!).  
De volgende zin is waar in elke Geo-wereld ( probeer te begrijpen waarom!).  


∀x: ∃y: Pentagon(x) ∧ Square(y) ⇒ ∀z: Pentagon(z)
?x: ?y: Pentagon(x) ? Square(y) ? ?z: Pentagon(z)


Toon aan dat deze zin niet logisch waar is door een Deca-wereld te construeren waarin die zin vals is.
Toon aan dat deze zin niet logisch waar is door een Deca-wereld te construeren waarin die zin vals is.
Regel 191: Regel 191:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∃x: Pentagon(x) ∧ ∃y: Pentagon(y) ∧ x≠y ∧ ∀z: Triangle(z) ∧ Small(z) ⇒ BackOf(x,z) ∧ BackOf(y,z)
?x: Pentagon(x) ? ?y: Pentagon(y) ? x?y ? ?z: Triangle(z) ? Small(z) ? BackOf(x,z) ? BackOf(y,z)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 203: Regel 203:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers:  Square, BackOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers:  Square, BackOf):  


Op het bord bevindt er zich hoogstens één figuur met de eigenschap dat er geen enkel vierkant achter ligt.
Op het bord bevindt er zich hoogstens één figuur met de eigenschap dat er geen enkel vierkant achter ligt.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∀x: ∀y: (¬∃z: Square(z) ∧ BackOf(z,x)) ∧ (¬∃u: Square(u) ∧ BackOf(u,y)) ⇒ x=y
?x: ?y: (¬?z: Square(z) ? BackOf(z,x)) ? (¬?u: Square(u) ? BackOf(u,y)) ? x=y
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 220: Regel 220:
Minstens twee grote vierkanten hebben elk niets aan hun linkerkant tenzij (eventueel) vierkanten.  
Minstens twee grote vierkanten hebben elk niets aan hun linkerkant tenzij (eventueel) vierkanten.  


Met "A tenzij B" , bedoelen we "A ∨ B".
Met "A tenzij B" , bedoelen we "A ? B".
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∃x: Square(x) ∧ Large(x) ∧ ∃y: Square(y) ∧ Large(y) ∧ x≠y ∧ (∀z: LeftOf(z,x) ∨ LeftOf(z,y) ⇒ Square(z))
?x: Square(x) ? Large(x) ? ?y: Square(y) ? Large(y) ? x?y ? (?z: LeftOf(z,x) ? LeftOf(z,y) ? Square(z))
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 235: Regel 235:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers:  Triangle, Pentagon, Smaller, BackOf, LeftOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers:  Triangle, Pentagon, Smaller, BackOf, LeftOf):  


Minstens één driehoek bevindt zich links van a en ligt achter elke vijfhoek die kleiner is dan a.
Minstens één driehoek bevindt zich links van a en ligt achter elke vijfhoek die kleiner is dan a.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
∃x: Triangle(x) ∧ LeftOf(x,a) ∧ ∀y: Pentagon(y) ∧ Smaller(y,a) ⇒ BackOf(x,y)
?x: Triangle(x) ? LeftOf(x,a) ? ?y: Pentagon(y) ? Smaller(y,a) ? BackOf(x,y)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 250: Regel 250:
Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren.  
Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren.  


{(∃y: ∀z: P(y,z)) ⇒ ∀z: K(z,z)} ⇒ {(∀z: ∃y: P(y,z)) ⇒ ∀z: K(z,z)}
{(?y: ?z: P(y,z)) ? ?z: K(z,z)} ? {(?z: ?y: P(y,z)) ? ?z: K(z,z)}
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 271: Regel 271:
Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren.  
Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren.  


∀x: ∀y: ∀z: [P(x,y) ⇒ ∀x: P(x,x)] ⇒ [(∃x: P(x,y)) ⇒ P(z,z)]
?x: ?y: ?z: [P(x,y) ? ?x: P(x,x)] ? [(?x: P(x,y)) ? P(z,z)]
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 290: Regel 290:
Toon aan dat de derde zin hieronder geen logisch gevolg is van de eerste twee zinnen, door een geschikte Deca-wereld te construeren.  
Toon aan dat de derde zin hieronder geen logisch gevolg is van de eerste twee zinnen, door een geschikte Deca-wereld te construeren.  


(∃x: ∀y: ¬P(y,x)) ∧ ∃x: ∃y: x≠y;
(?x: ?y: ¬P(y,x)) ? ?x: ?y: x?y;


∀x: ∃y: P(x,y) ∧ S(x) ⇒ P(y,x);
?x: ?y: P(x,y) ? S(x) ? P(y,x);


∃x: ∃y: ¬P(y,x) ∧ ¬S(y)
?x: ?y: ¬P(y,x) ? ¬S(y)
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 315: Regel 315:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Pentagon, Square, BackOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Pentagon, Square, BackOf):  


Er bevindt zich precies één vijfhoek op het bord en die vijfhoek ligt achter alle vierkanten.
Er bevindt zich precies één vijfhoek op het bord en die vijfhoek ligt achter alle vierkanten.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">


∃x: Pentagon(x) ∧ ∀y: Pentagon(y)  ⇒ x=y ∧ ∀z: Square(z) ⇒ BackOf(x,z)
?x: Pentagon(x) ? ?y: Pentagon(y)  ? x=y ? ?z: Square(z) ? BackOf(x,z)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 334: Regel 334:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
∀x: Square(x) ∧ (Medium(x) ∨ ∃y: Medium(y) ∧ BackOf(x,y)) ⇒ ∀z: Triangle(z) ∧ Large(z) ⇒ LeftOf(x,z)
?x: Square(x) ? (Medium(x) ? ?y: Medium(y) ? BackOf(x,y)) ? ?z: Triangle(z) ? Large(z) ? LeftOf(x,z)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 346: Regel 346:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, Pentagon, FrontOf, RightOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, Pentagon, FrontOf, RightOf):  


Minstens één driehoek bevindt zich voor elk vierkant dat rechts van alle vijfhoeken ligt.
Minstens één driehoek bevindt zich voor elk vierkant dat rechts van alle vijfhoeken ligt.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∃x: Triangle(x) ∧ ∀y: Square(y) ∧ (∀z: Pentagon(z) ⇒ RightOf(y,z)) ⇒ FrontOf(x,y)
?x: Triangle(x) ? ?y: Square(y) ? (?z: Pentagon(z) ? RightOf(y,z)) ? FrontOf(x,y)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 361: Regel 361:
Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn (hier is a een constante-identifier):  
Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn (hier is a een constante-identifier):  


∃x: ∃y: x≠y ∧ Triangle(x) ∧ Triangle(y) ∧ [∀z: Square(z) ∧ LeftOf(z,x) ⇒ BackOf(x,z)] ∧ ∀z: Square(z) ∧ LeftOf(z,y) ⇒ BackOf(y,z);
?x: ?y: x?y ? Triangle(x) ? Triangle(y) ? [?z: Square(z) ? LeftOf(z,x) ? BackOf(x,z)] ? ?z: Square(z) ? LeftOf(z,y) ? BackOf(y,z);


¬∃x: ∃y: x≠y ∧ (∀z: Square(z) ⇒ BackOf(x,z)) ∧ ∀z: Square(z) ⇒ BackOf(y,z);
¬?x: ?y: x?y ? (?z: Square(z) ? BackOf(x,z)) ? ?z: Square(z) ? BackOf(y,z);


∃y: ∃z: Square(y) ∧ Square(z) ∧ y≠z ∧ LeftOf(y,a) ∧ BackOf(a,y)
?y: ?z: Square(y) ? Square(z) ? y?z ? LeftOf(y,a) ? BackOf(a,y)


</td>
</td>
Regel 396: Regel 396:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∃x: Square(x) ∧ ∃y: Square(y) ∧ x≠y ∧ ∀z: Triangle(z) ∧ (∀u: Pentagon(u) ⇒ RightOf(z,u)) ⇒ BackOf(x,z) ∧ BackOf(y,z)
?x: Square(x) ? ?y: Square(y) ? x?y ? ?z: Triangle(z) ? (?u: Pentagon(u) ? RightOf(z,u)) ? BackOf(x,z) ? BackOf(y,z)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 410: Regel 410:
Er ligt geen enkele vijfhoek op het bord tenzij het aantal grote figuren links van a precies twee is.  
Er ligt geen enkele vijfhoek op het bord tenzij het aantal grote figuren links van a precies twee is.  


Met "A tenzij B" , bedoelen we "A ∨ B".
Met "A tenzij B" , bedoelen we "A ? B".
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
(¬∃x: Pentagon(x)) ∨ ∃x: ∃y: x≠y ∧ Large(x) ∧ Large(y) ∧ LeftOf(x,a) ∧ LeftOf(y,a) ∧ ∀z: Large(z) ∧ LeftOf(z,a) ⇒ z=x ∨ z=y
(¬?x: Pentagon(x)) ? ?x: ?y: x?y ? Large(x) ? Large(y) ? LeftOf(x,a) ? LeftOf(y,a) ? ?z: Large(z) ? LeftOf(z,a) ? z=x ? z=y
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 428: Regel 428:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
∀x: (∃y: Square(y) ∧ RightOf(y,x) ∧ ∃z: Square(z) ∧ RightOf(z,x) ∧ y≠z) ⇒ Square(x)
?x: (?y: Square(y) ? RightOf(y,x) ? ?z: Square(z) ? RightOf(z,x) ? y?z) ? Square(x)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 440: Regel 440:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, RightOf, FrontOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, RightOf, FrontOf):  


Hoogstens één figuur bevindt zich voor elk vierkant dat rechts van die figuur ligt.
Hoogstens één figuur bevindt zich voor elk vierkant dat rechts van die figuur ligt.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
¬∃x:∃y: x ≠ y ∧ (∀z: Square(z) ⇒ RightOf(z,x) ⇒ FrontOf(x,z)) ∧ (∀z:Square(z) ⇒ RightOf(z,y) ⇒ FrontOf(y,z))
¬?x:?y: x ? y ? (?z: Square(z) ? RightOf(z,x) ? FrontOf(x,z)) ? (?z:Square(z) ? RightOf(z,y) ? FrontOf(y,z))
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 453: Regel 453:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Construeer één Geo-wereld waarin de twee volgende zinnen NIET dezelfde waarheidswaarde hebben:
Construeer één Geo-wereld waarin de twee volgende zinnen NIET dezelfde waarheidswaarde hebben:


∀x: Square(x) ∧ [∀y: Triangle(y) ⇒ RightOf(x,y)] ⇒ Large(x);
?x: Square(x) ? [?y: Triangle(y) ? RightOf(x,y)] ? Large(x);


∀x: Square(x) ∧ [∀y: Triangle(y) ∧ Small(y) ⇒ RightOf(x,y)] ⇒ Large(x)
?x: Square(x) ? [?y: Triangle(y) ? Small(y) ? RightOf(x,y)] ? Large(x)
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 480: Regel 480:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, RightOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, RightOf):  


Alle vierkanten, behalve hoogstens één, bevinden zich rechts van alle driehoeken.
Alle vierkanten, behalve hoogstens één, bevinden zich rechts van alle driehoeken.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
¬∃x:∃y: x ≠ y  ∧ Square(x) ∧ Square(y) ∧ ¬(∀z:Triangle(z) ⇒ RightOf(x,z)) ∧ ¬(∀z:Triangle(z) ⇒ RightOf(y,z))
¬?x:?y: x ? y  ? Square(x) ? Square(y) ? ¬(?z:Triangle(z) ? RightOf(x,z)) ? ¬(?z:Triangle(z) ? RightOf(y,z))
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 498: Regel 498:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
¬∃x:∃y:∃z:x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z ∧ ∃s: Square(s)  ∧ FrontOf(x,s) ∧ FrontOf(y,s) ∧ FrontOf(z,s)
¬?x:?y:?z:x ? y ? x ? z ? y ? z ? ?s: Square(s)  ? FrontOf(x,s) ? FrontOf(y,s) ? FrontOf(z,s)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 510: Regel 510:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, RightOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, RightOf):  


Geen enkel vierkant ligt rechts van minstens één driehoek.
Geen enkel vierkant ligt rechts van minstens één driehoek.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
¬∃x: Square(x) ∧ ∃y:Triangle(y) ∧ RightOf(x,y)
¬?x: Square(x) ? ?y:Triangle(y) ? RightOf(x,y)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 528: Regel 528:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∀x: Small(x) ∧ Triangle(x) ⇒ ∀y: Large(y) ∧ Square(y) ⇒ BackOf(x,y)
?x: Small(x) ? Triangle(x) ? ?y: Large(y) ? Square(y) ? BackOf(x,y)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 540: Regel 540:
Construeer een Geo-wereld waarin de volgende twee zinnen waar zijn:  
Construeer een Geo-wereld waarin de volgende twee zinnen waar zijn:  


¬∀x: ∀y: ∀z: [∃t: BackOf(x,t) ∧ BackOf(y,t) ∧ BackOf(z,t) ∧ Square(t)] ⇒ x=y ∨ x=z ∨ y=z;
¬?x: ?y: ?z: [?t: BackOf(x,t) ? BackOf(y,t) ? BackOf(z,t) ? Square(t)] ? x=y ? x=z ? y=z;
∀x: ∀y: ∀z: [BackOf(x,a) ∧ BackOf(y,a) ∧ BackOf(z,a) ∧ Square(a)] ⇒ x=y ∨ x=z ∨ y=z
?x: ?y: ?z: [BackOf(x,a) ? BackOf(y,a) ? BackOf(z,a) ? Square(a)] ? x=y ? x=z ? y=z
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 561: Regel 561:
Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren:  
Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren:  


[∃x: ∀y: U(x) ⇒ W(y)] ⇔ ∃y: ∀x: U(x) ⇒ W(y)
[?x: ?y: U(x) ? W(y)] ? ?y: ?x: U(x) ? W(y)
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 579: Regel 579:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, Large, LeftOf, BackOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, Large, LeftOf, BackOf):  


Minstens één vierkant heeft iets links van zich liggen waar zich niets groot achter bevindt.  
Minstens één vierkant heeft iets links van zich liggen waar zich niets groot achter bevindt.  
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∃x: Square(x)  ∧ ∃y: LeftOf(y,x)  ∧ ¬∃z: Large(z) ∧ BackOf(z,y)
?x: Square(x)  ? ?y: LeftOf(y,x)  ? ¬?z: Large(z) ? BackOf(z,y)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 594: Regel 594:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, LeftOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, LeftOf):  


Minstens één vierkant bevindt  zich links van alle andere vierkanten.
Minstens één vierkant bevindt  zich links van alle andere vierkanten.
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
∃x: Square(x) ∧ ∀y: x ≠ y  ∧ Square(y) ⇒ LeftOf(x,y)
?x: Square(x) ? ?y: x ? y  ? Square(y) ? LeftOf(x,y)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 612: Regel 612:
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∀x: Large(x) ∧ ¬(∃y: Triangle(y) ∧ BackOf(y,x)) ⇒ Pentagon(x)
?x: Large(x) ? ¬(?y: Triangle(y) ? BackOf(y,x)) ? Pentagon(x)
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 624: Regel 624:
Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren:
Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren:


{(∃y: R(y,y)) ⇒ ∃y: U(y)} ⇒ {(∀y: R(y,y)) ⇒ ∃y: ∀y: U(y)}
{(?y: R(y,y)) ? ?y: U(y)} ? {(?y: R(y,y)) ? ?y: ?y: U(y)}
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 642: Regel 642:
Toon aan dat de derde zin hieronder geen logisch gevolg is van de  eerste twee zinnen, door een geschikte Deca-wereld te construeren:
Toon aan dat de derde zin hieronder geen logisch gevolg is van de  eerste twee zinnen, door een geschikte Deca-wereld te construeren:


∃z: S(z) ∧ ∀y: S(y) ⇒ R(z,y);
?z: S(z) ? ?y: S(y) ? R(z,y);
∀x: ∀y: R(x,y) ⇔ R(y,x);
?x: ?y: R(x,y) ? R(y,x);
(∃x: S(x)) ∧ ∀y: ∀z: S(y) ∧ S(z) ⇒ R(y,z)
(?x: S(x)) ? ?y: ?z: S(y) ? S(z) ? R(y,z)
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
Regel 662: Regel 662:
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Small, Triangle, Square, Pentagon, LeftOf, BackOf):  
Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Small, Triangle, Square, Pentagon, LeftOf, BackOf):  


Minstens twee kleine vijfhoeken liggen links van éénzelfde driehoek waar geen enkel vierkant achter ligt.  
Minstens twee kleine vijfhoeken liggen links van éénzelfde driehoek waar geen enkel vierkant achter ligt.  
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-collapse: collapse;">
∃x: ∃y: x ≠ y ∧ Pentagon(x) ∧ Pentagon(y) ∧ Small(x) ∧ Small(y) ∧ ∃z: Triangle(z) ∧ LeftOf(x,z) ∧ LeftOf(y,z) ∧ ¬(∃s: Square(s) ∧ BackOf(s,z))
?x: ?y: x ? y ? Pentagon(x) ? Pentagon(y) ? Small(x) ? Small(y) ? ?z: Triangle(z) ? LeftOf(x,z) ? LeftOf(y,z) ? ¬(?s: Square(s) ? BackOf(s,z))
</td>
</td>
</tr>
</tr>
Regel 677: Regel 677:
(Oefl. 910) Geef een KE-bewijs van de zin  
(Oefl. 910) Geef een KE-bewijs van de zin  


<span style="color: green;">∀x: S(x) ⇒ (W(x) ∨ V(x))</span>
<span style="color: green;">?x: S(x) ? (W(x) ? V(x))</span>


uit de verzameling bestaande uit de volgende zinnen:  
uit de verzameling bestaande uit de volgende zinnen:  


<span style="color: green;">¬∃x: S(x) ∧ ∃y: P(x,y);</span><br>
<span style="color: green;">¬?x: S(x) ? ?y: P(x,y);</span><br>
<span style="color: green;">∀y: ∃x: P(y,x) ∨ V(y) ∨ W(y)</span>
<span style="color: green;">?y: ?x: P(y,x) ? V(y) ? W(y)</span>
</td>
</td>
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
<td style="text-align:center; border:black solid 1px; border-top: black solid 3px; border-collapse: collapse;">
Regel 744: Regel 744:
<b>Oefening 1</b>
<b>Oefening 1</b>
<p>
<p>
» ∃z: ∀y: (∃x: K(x,y)) ⇒ P(y,z)  #1: Hypothesis <br>
» ?z: ?y: (?x: K(x,y)) ? P(y,z)  #1: Hypothesis <br>
» ∀x: ∀y: K(x,y) ⇒ K(y,x)  #2: Hypothesis <br>
» ?x: ?y: K(x,y) ? K(y,x)  #2: Hypothesis <br>
» ¬{∀x: (∃z: K(x,z)) ⇒ ∃y: P(x,y)}  #3: NegatedConclusion <br>
» ¬{?x: (?z: K(x,z)) ? ?y: P(x,y)}  #3: NegatedConclusion <br>
» ¬{(∃z: K(a,z)) ⇒ ∃y: P(a,y)}  #4: ERule(3) <br>
» ¬{(?z: K(a,z)) ? ?y: P(a,y)}  #4: ERule(3) <br>
» ∃z: K(a,z)  #5: PropRule(4) <br>
» ?z: K(a,z)  #5: PropRule(4) <br>
» ¬{∃y: P(a,y)}  #6: PropRule(4) <br>
» ¬{?y: P(a,y)}  #6: PropRule(4) <br>
» K(a,b)  #7: ERule(5) <br>
» K(a,b)  #7: ERule(5) <br>
» ∀y: (∃x: K(x,y)) ⇒ P(y,c)  #8: ERule(1) <br>
» ?y: (?x: K(x,y)) ? P(y,c)  #8: ERule(1) <br>
» ¬{P(a,c)}  #9: ARule(6) <br>
» ¬{P(a,c)}  #9: ARule(6) <br>
» (∃x: K(x,a)) ⇒ P(a,c)  #10: ARule(8) <br>
» (?x: K(x,a)) ? P(a,c)  #10: ARule(8) <br>
<br>
<br>
  Case A  Closed <br>
  Case A  Closed <br>
» ∃x: K(x,a)  #11: Case A <br>
» ?x: K(x,a)  #11: Case A <br>
» P(a,c)  #13: PropRule(11,10) <br>
» P(a,c)  #13: PropRule(11,10) <br>
» Contradiction: 13,9 <br>
» Contradiction: 13,9 <br>
<br>
<br>
<br>
<br>
  Case B  Closed <br>
  Case B  Closed <br>
» ¬{∃x: K(x,a)}  #12: Case B <br>
» ¬{?x: K(x,a)}  #12: Case B <br>
» ¬{K(b,a)}  #19: ARule(12) <br>
» ¬{K(b,a)}  #19: ARule(12) <br>
» ∀y: K(a,y) ⇒ K(y,a)  #20: ARule(2) <br>
» ?y: K(a,y) ? K(y,a)  #20: ARule(2) <br>
» K(a,b) ⇒ K(b,a)  #21: ARule(20) <br>
» K(a,b) ? K(b,a)  #21: ARule(20) <br>
» ¬{K(a,b)}  #22: PropRule(21,19) <br>
» ¬{K(a,b)}  #22: PropRule(21,19) <br>
» Contradiction: 22,7<br>
» Contradiction: 22,7<br>
</p>
</p>


<b>Oefening 2</b>
<b>Oefening 2</b>
<p>
<p>
» (∃x: U(x)) ∧ ∀y: ∀z: (U(y) ∧ U(z)) ⇒ R(y,z)  #1: Hypothesis  <br>
» (?x: U(x)) ? ?y: ?z: (U(y) ? U(z)) ? R(y,z)  #1: Hypothesis  <br>
» ¬{∃x: U(x) ∧ ∀y: U(y) ⇒ R(x,y)}  #2: NegatedConclusion <br>
» ¬{?x: U(x) ? ?y: U(y) ? R(x,y)}  #2: NegatedConclusion <br>
» ∃x: U(x)  #3: PropRule(1) <br>
» ?x: U(x)  #3: PropRule(1) <br>
» ∀y: ∀z: (U(y) ∧ U(z)) ⇒ R(y,z)  #4: PropRule(1) <br>
» ?y: ?z: (U(y) ? U(z)) ? R(y,z)  #4: PropRule(1) <br>
» U(a)  #5: ERule(3) <br>
» U(a)  #5: ERule(3) <br>
» ¬{U(a) ∧ ∀y: U(y) ⇒ R(a,y)}  #6: ARule(2) <br>
» ¬{U(a) ? ?y: U(y) ? R(a,y)}  #6: ARule(2) <br>
» ¬{∀y: U(y) ⇒ R(a,y)}  #7: PropRule(6,5) <br>
» ¬{?y: U(y) ? R(a,y)}  #7: PropRule(6,5) <br>
» ¬{U(b) ⇒ R(a,b)}  #8: ERule(7) <br>
» ¬{U(b) ? R(a,b)}  #8: ERule(7) <br>
» ∀z: (U(a) ∧ U(z)) ⇒ R(a,z)  #9: ARule(4) <br>
» ?z: (U(a) ? U(z)) ? R(a,z)  #9: ARule(4) <br>
» (U(a) ∧ U(b)) ⇒ R(a,b)  #10: ARule(9) <br>
» (U(a) ? U(b)) ? R(a,b)  #10: ARule(9) <br>
» U(b)  #11: PropRule(8) <br>
» U(b)  #11: PropRule(8) <br>
» ¬{R(a,b)}  #12: PropRule(8) <br>
» ¬{R(a,b)}  #12: PropRule(8) <br>
<br>
<br>
<br>
<br>
  Case A  Closed <br>
  Case A  Closed <br>
» U(a) ∧ U(b)  #13: Case A<br>
» U(a) ? U(b)  #13: Case A<br>
» R(a,b)  #15: PropRule(13,10) <br>
» R(a,b)  #15: PropRule(13,10) <br>
» Contradiction: 15,12<br>
» Contradiction: 15,12<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
  Case B  Closed <br>
  Case B  Closed <br>
» ¬{U(a) ∧ U(b)}  #14: Case B<br>
» ¬{U(a) ? U(b)}  #14: Case B<br>
» ¬{U(b)}  #17: PropRule(14,5) <br>
» ¬{U(b)}  #17: PropRule(14,5) <br>
» Contradiction: 17,11<br>
» Contradiction: 17,11<br>
</p>
</p>
<b>Oefening 3</b> <p>
<b>Oefening 3</b> <p>
» ∃z: ∀y: (∃x: U(x)) ⇒ P(z,y)  #1: Hypothesis  <br>
» ?z: ?y: (?x: U(x)) ? P(z,y)  #1: Hypothesis  <br>
» (∃x: P(x,x)) ⇒ ∀y: ∀z: R(y,z)  #2: Hypothesis <br>
» (?x: P(x,x)) ? ?y: ?z: R(y,z)  #2: Hypothesis <br>
» ¬{∀x: (∃z: U(z) ∧ S(x)) ⇒ ∃y: S(y) ∧ R(x,y)}  #3: NegatedConclusion <br>
» ¬{?x: (?z: U(z) ? S(x)) ? ?y: S(y) ? R(x,y)}  #3: NegatedConclusion <br>
» ∀y: (∃x: U(x)) ⇒ P(a,y)  #4: ERule(1) <br>
» ?y: (?x: U(x)) ? P(a,y)  #4: ERule(1) <br>
» ¬{(∃z: U(z) ∧ S(b)) ⇒ ∃y: S(y) ∧ R(b,y)}  #5: ERule(3) <br>
» ¬{(?z: U(z) ? S(b)) ? ?y: S(y) ? R(b,y)}  #5: ERule(3) <br>
» ∃z: U(z) ∧ S(b)  #6: PropRule(5) <br>
» ?z: U(z) ? S(b)  #6: PropRule(5) <br>
» ¬{∃y: S(y) ∧ R(b,y)}  #7: PropRule(5) <br>
» ¬{?y: S(y) ? R(b,y)}  #7: PropRule(5) <br>
» U(c) ∧ S(b)  #8: ERule(6) <br>
» U(c) ? S(b)  #8: ERule(6) <br>
» U(c)  #9: PropRule(8) <br>
» U(c)  #9: PropRule(8) <br>
» S(b)  #10: PropRule(8) <br>
» S(b)  #10: PropRule(8) <br>
<br>
<br>
  Case A  Closed <br>
  Case A  Closed <br>
» ∃x: P(x,x)  #11: Case A<br>
» ?x: P(x,x)  #11: Case A<br>
» ∀y: ∀z: R(y,z)  #13: PropRule(11,2) <br>
» ?y: ?z: R(y,z)  #13: PropRule(11,2) <br>
» ¬{S(b) ∧ R(b,b)}  #18: ARule(7) <br>
» ¬{S(b) ? R(b,b)}  #18: ARule(7) <br>
» ∀z: R(b,z)  #19: ARule(13) <br>
» ?z: R(b,z)  #19: ARule(13) <br>
» R(b,b)  #20: ARule(19) <br>
» R(b,b)  #20: ARule(19) <br>
» ¬{S(b)}  #21: PropRule(20,18) <br>
» ¬{S(b)}  #21: PropRule(20,18) <br>
» Contradiction: 21,10<br>
» Contradiction: 21,10<br>
<br>
<br>
  Case B  Closed <br>
  Case B  Closed <br>
» ¬{∃x: P(x,x)}  #12: Case B<br>
» ¬{?x: P(x,x)}  #12: Case B<br>
» (∃x: U(x)) ⇒ P(a,a)  #23: ARule(4) <br>
» (?x: U(x)) ? P(a,a)  #23: ARule(4) <br>
» ¬{P(a,a)}  #24: ARule(12) <br>
» ¬{P(a,a)}  #24: ARule(12) <br>
» ¬{∃x: U(x)}  #25: PropRule(24,23) <br>
» ¬{?x: U(x)}  #25: PropRule(24,23) <br>
» ¬{U(c)}  #26: ARule(25) <br>
» ¬{U(c)}  #26: ARule(25) <br>
» Contradiction: 26,9<br> </p>
» Contradiction: 26,9<br> </p>


<b>Oefening 4</b> <p>
<b>Oefening 4</b> <p>
» ∃x: ∀y: [∃z: Pentagon(z) ∧ BackOf(y,z)] ⇒ LeftOf(x,y)  #1: Hypothesis  <br>
» ?x: ?y: [?z: Pentagon(z) ? BackOf(y,z)] ? LeftOf(x,y)  #1: Hypothesis  <br>
» ∃z: Pentagon(z)  #2: Hypothesis <br>
» ?z: Pentagon(z)  #2: Hypothesis <br>
» ¬{∃x: ∀y: [∀z: Pentagon(z) ⇒ BackOf(y,z)] ⇒ LeftOf(x,y)}  #3: NegatedConclusion <br>
» ¬{?x: ?y: [?z: Pentagon(z) ? BackOf(y,z)] ? LeftOf(x,y)}  #3: NegatedConclusion <br>
» ∀y: [∃z: Pentagon(z) ∧ BackOf(y,z)] ⇒ LeftOf(a,y)  #4: ERule(1) <br>
» ?y: [?z: Pentagon(z) ? BackOf(y,z)] ? LeftOf(a,y)  #4: ERule(1) <br>
» ¬{∀y: [∀z: Pentagon(z) ⇒ BackOf(y,z)] ⇒ LeftOf(a,y)}  #5: ARule(3) <br>
» ¬{?y: [?z: Pentagon(z) ? BackOf(y,z)] ? LeftOf(a,y)}  #5: ARule(3) <br>
» ¬{[∀z: Pentagon(z) ⇒ BackOf(b,z)] ⇒ LeftOf(a,b)}  #6: ERule(5) <br>
» ¬{[?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z)] ? LeftOf(a,b)}  #6: ERule(5) <br>
» ∀z: Pentagon(z) ⇒ BackOf(b,z)  #7: PropRule(6) <br>
» ?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z)  #7: PropRule(6) <br>
» ¬{LeftOf(a,b)}  #8: PropRule(6) <br>
» ¬{LeftOf(a,b)}  #8: PropRule(6) <br>
» Pentagon(c)  #9: ERule(2) <br>
» Pentagon(c)  #9: ERule(2) <br>
» Pentagon(c) ⇒ BackOf(b,c)  #10: ARule(7) <br>
» Pentagon(c) ? BackOf(b,c)  #10: ARule(7) <br>
» BackOf(b,c)  #11: PropRule(10,9) <br>
» BackOf(b,c)  #11: PropRule(10,9) <br>
» [∃z: Pentagon(z) ∧ BackOf(b,z)] ⇒ LeftOf(a,b)  #12: ARule(4) <br>
» [?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z)] ? LeftOf(a,b)  #12: ARule(4) <br>
<br>
<br>
  Case A  Closed <br>
  Case A  Closed <br>
» ∃z: Pentagon(z) ∧ BackOf(b,z)  #13: Case A<br>
» ?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z)  #13: Case A<br>
» LeftOf(a,b)  #15: PropRule(13,12) <br>
» LeftOf(a,b)  #15: PropRule(13,12) <br>
» Contradiction: 8,15<br>
» Contradiction: 8,15<br>
<br>
<br>
  Case B  Closed <br>
  Case B  Closed <br>
» ¬{∃z: Pentagon(z) ∧ BackOf(b,z)}  #14: Case B<br>
» ¬{?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z)}  #14: Case B<br>
» ¬{Pentagon(c) ∧ BackOf(b,c)}  #17: ARule(14) <br>
» ¬{Pentagon(c) ? BackOf(b,c)}  #17: ARule(14) <br>
» ¬{Pentagon(c)}  #18: PropRule(17,11) <br>
» ¬{Pentagon(c)}  #18: PropRule(17,11) <br>
» Contradiction: 18,9 <br></p>
» Contradiction: 18,9 <br></p>


<b>oefening 5</b><p>
<b>oefening 5</b><p>
» ∃x: ∀z: S(z) ⇒ ∀y: P(y,z) ⇒ R(x,y)  #1: Hypothesis  <br>
» ?x: ?z: S(z) ? ?y: P(y,z) ? R(x,y)  #1: Hypothesis  <br>
» ∃z: S(z)  #2: Hypothesis <br>
» ?z: S(z)  #2: Hypothesis <br>
» ¬{∃x: ∀y: [∀z: S(z) ⇒ P(y,z)] ⇒ R(x,y)}  #3: NegatedConclusion <br>
» ¬{?x: ?y: [?z: S(z) ? P(y,z)] ? R(x,y)}  #3: NegatedConclusion <br>
» ∀z: S(z) ⇒ ∀y: P(y,z) ⇒ R(a,y)  #4: ERule(1) <br>
» ?z: S(z) ? ?y: P(y,z) ? R(a,y)  #4: ERule(1) <br>
» S(b)  #5: ERule(2) <br>
» S(b)  #5: ERule(2) <br>
» ¬{∀y: [∀z: S(z) ⇒ P(y,z)] ⇒ R(a,y)}  #6: ARule(3) <br>
» ¬{?y: [?z: S(z) ? P(y,z)] ? R(a,y)}  #6: ARule(3) <br>
» ¬{[∀z: S(z) ⇒ P(c,z)] ⇒ R(a,c)}  #7: ERule(6) <br>
» ¬{[?z: S(z) ? P(c,z)] ? R(a,c)}  #7: ERule(6) <br>
» ∀z: S(z) ⇒ P(c,z)  #8: PropRule(7) <br>
» ?z: S(z) ? P(c,z)  #8: PropRule(7) <br>
» ¬{R(a,c)}  #9: PropRule(7) <br>
» ¬{R(a,c)}  #9: PropRule(7) <br>
» S(b) ⇒ ∀y: P(y,b) ⇒ R(a,y)  #10: ARule(4) <br>
» S(b) ? ?y: P(y,b) ? R(a,y)  #10: ARule(4) <br>
» ∀y: P(y,b) ⇒ R(a,y)  #11: PropRule(10,5) <br>
» ?y: P(y,b) ? R(a,y)  #11: PropRule(10,5) <br>
» P(c,b) ⇒ R(a,c)  #12: ARule(11) <br>
» P(c,b) ? R(a,c)  #12: ARule(11) <br>
» ¬{P(c,b)}  #13: PropRule(12,9) <br>
» ¬{P(c,b)}  #13: PropRule(12,9) <br>
» S(b) ⇒ P(c,b)  #14: ARule(8) <br>
» S(b) ? P(c,b)  #14: ARule(8) <br>
» ¬{S(b)}  #15: PropRule(14,13) <br>
» ¬{S(b)}  #15: PropRule(14,13) <br>
» Contradiction: 15,5 <br>
» Contradiction: 15,5 <br>
</p>
</p>


Regel 873: Regel 873:
<b>Oefening 1</b>
<b>Oefening 1</b>
<p>
<p>
∀x: ∃a: ∃b: U(x) ∧ ( (W(a) ∧ ¬R(b,y)) ∨ (R(x,y) ∧ ¬W(x)))
?x: ?a: ?b: U(x) ? ( (W(a) ? ¬R(b,y)) ? (R(x,y) ? ¬W(x)))
</p>
</p>
<b>Oefening 2</b>
<b>Oefening 2</b>
<p>
<p>
∃x: ∀a: ∃b: ∀c: ∃d:∀e: (U(x) ∧ (¬W(a) ∨ ¬R(b,y))) ∨ (¬U(c) ∧ W(d) ∧ R(e,y))
?x: ?a: ?b: ?c: ?d:?e: (U(x) ? (¬W(a) ? ¬R(b,y))) ? (¬U(c) ? W(d) ? R(e,y))
</p>
</p>
<b>Oefening 3</b>
<b>Oefening 3</b>
<p>
<p>
∃z:∃x:∀y:∃a: S(z) ∧ ([S(a) ⇒ P(y,a)] ⇒ R(x,y) );
?z:?x:?y:?a: S(z) ? ([S(a) ? P(y,a)] ? R(x,y) );
</p>
</p>
<b>Oefening 4</b>
<b>Oefening 4</b>
<p>
<p>
∀y:∀a:∀b:(¬R(a,y) ∨ ¬V(a)) ∨ V(b) ∧ R(y,b)
?y:?a:?b:(¬R(a,y) ? ¬V(a)) ? V(b) ? R(y,b)
</p>
</p>
<b>Oefening 5</b>
<b>Oefening 5</b>
<p>
<p>
∃a: ∀b: ∃c: [W(a) ∧ ¬R(x,b)] ∨ U(c)
?a: ?b: ?c: [W(a) ? ¬R(x,b)] ? U(c)
</p>
</p>


<h3>Chapter 11</h3>
<h3>Chapter 11</h3>
<b>Oefening 1</b>
<b>Oefening 1</b>
<p>∀x: ∀y: Ster(x)  ∧ x≠y ∧ Ster(y)  ∧ Knap(y)  ∧ (∀z: Manager(z,y)  ⇒ ¬Jaloers(z))  ⇒ Haat(x,y) </p>
<p>?x: ?y: Ster(x)  ? x?y ? Ster(y)  ? Knap(y)  ? (?z: Manager(z,y)  ? ¬Jaloers(z))  ? Haat(x,y) </p>
WIP
WIP

Versie van 28 nov 2018 18:31

Oefeningen (oefenzittingen)

Oplossingen worden op Toledo meegedeeld naarmate het semester vordert.

Huistaken (LogicPalet)

Hier staan de oplossingen voor de oefeningen in Logic Palet. Sommige antwoorden staan in XML formaat, kopieer dit en plak dit in de geo- of deca-wereld.

Disclaimer: Al zouden volgende oplossingen juist moeten zijn, dit wordt niet gegarandeerd. Waarschijnlijk bestaan er meerdere oplossingen voor bepaalde oefeningen.


Academiejaar 2017-2018

Nummer

Opgave

Oplossing

Homework 1

Exercise 1

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, Small, LeftOf):

Alle kleine driehoeken liggen links van alle vierkanten.

?x: Triangle(x) ? Small(x)  ? ?y: Square(y)  ? LeftOf(x,y)

Homework 1

Exercise 2

Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn:

?x: ?y: Triangle(x) ? Square(y);

?x: ?y: Triangle(x) ? [LeftOf(x,y) ? Pentagon(y)]

<GeoWorld>

<Triangle Size="2" Row="3" Column="3" />

<Square Size="2" Row="4" Column="3" />

<Pentagon Size="2" Row="4" Column="6" />

</GeoWorld>

Homework 1

Exercise 3

Construeer een Deca-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn:

?x: ?y: Triangle(x) ? Square(y);

?x: ?y: x=y

<DecaWorld Size="1">

<UnaryRelation Name="Triangle" Elements="1" />

<UnaryRelation Name="Square" Elements="1" />

</DecaWorld>

Homework 1

Exercise 4

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Pentagon, Square, Small, BackOf):

Er is minstens één vijfhoek die achter alle kleine vierkanten ligt.

?x: Pentagon(x) ? ?y: Square(y) ? Small(y) ? BackOf(x,y)

Homework 1

Exercise 5

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, Smaller):

Er ligt een vierkant, maar niet alle vierkanten zijn kleiner dan alle driehoeken.

?x: Square(x) ? (¬?y: Square(y) ? ?z: Triangle(z) ? Smaller(y,z))

Homework 2

Exercise 1

Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn (hier is a een constante-identifier):

?x: ?y: ¬{Square(x) ? Triangle(y) ? RightOf(x,y)};

?y: Triangle(a) ? Triangle(y) ? a?y;

?x: ?y: Square(x) ? Square(y) ? x?y ? ?z: Small(z) ? z=x ? z=y;

?x: ¬Large(x) ? (Square(x) ? Small(x))

<GeoWorld>

<Square Size="1" Row="4" Column="4" />

<Triangle Size="2" Row="4" Column="5" />

<Square Size="1" Row="5" Column="4" />

<Triangle Size="2" Row="5" Column="5" Name="a" />

</GeoWorld>

Homework 2

Exercise 2

De volgende zin is waar in elke Geo-wereld ( probeer te begrijpen waarom!).

?x: ?y: Pentagon(x) ? Square(y) ? ?z: Pentagon(z)

Toon aan dat deze zin niet logisch waar is door een Deca-wereld te construeren waarin die zin vals is.

<DecaWorld Size="2">

<UnaryRelation Name="Square" Elements="1 2" />

<UnaryRelation Name="Pentagon" Elements="1" />

<Constant Name="nr1" Value="1" />

<Constant Name="nr2" Value="2" />

</DecaWorld>

Homework 2

Exercise 3

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Pentagon, Small, BackOf):

Er zijn minstens twee vijfhoeken die achter alle kleine driehoeken liggen.

?x: Pentagon(x) ? ?y: Pentagon(y) ? x?y  ? ?z: Triangle(z) ? Small(z) ? BackOf(x,z) ? BackOf(y,z)

Homework 2

Exercise 4

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, BackOf):

Op het bord bevindt er zich hoogstens één figuur met de eigenschap dat er geen enkel vierkant achter ligt.

?x: ?y: (¬?z: Square(z) ? BackOf(z,x)) ? (¬?u: Square(u) ? BackOf(u,y)) ? x=y

Homework 2

Exercise 5

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, Large, LeftOf):

Minstens twee grote vierkanten hebben elk niets aan hun linkerkant tenzij (eventueel) vierkanten.

Met "A tenzij B" , bedoelen we "A ? B".

?x: Square(x) ? Large(x) ? ?y: Square(y) ? Large(y) ? x?y ? (?z: LeftOf(z,x) ? LeftOf(z,y) ? Square(z))

Homework 3

Exercise 1

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Pentagon, Smaller, BackOf, LeftOf):

Minstens één driehoek bevindt zich links van a en ligt achter elke vijfhoek die kleiner is dan a.

?x: Triangle(x) ? LeftOf(x,a) ? ?y: Pentagon(y) ? Smaller(y,a) ? BackOf(x,y)

Homework 3

Exercise 2

Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren.

{(?y: ?z: P(y,z)) ? ?z: K(z,z)} ? {(?z: ?y: P(y,z)) ? ?z: K(z,z)}

<DecaWorld Size="2">

<BinaryRelation Name="P" Tuples="(1,1) (2,2)" />

<BinaryRelation Name="K" Tuples="(1,1) " />

</DecaWorld>

Homework 3

Exercise 3

Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren.

?x: ?y: ?z: [P(x,y) ? ?x: P(x,x)] ? [(?x: P(x,y)) ? P(z,z)]

<DecaWorld Size="2">

<BinaryRelation Name="P" Tuples="(1,1)" />

</DecaWorld>

Homework 3

Exercise 4

Toon aan dat de derde zin hieronder geen logisch gevolg is van de eerste twee zinnen, door een geschikte Deca-wereld te construeren.

(?x: ?y: ¬P(y,x)) ? ?x: ?y: x?y;

?x: ?y: P(x,y) ? S(x) ? P(y,x);

?x: ?y: ¬P(y,x) ? ¬S(y)

<DecaWorld Size="2">

<UnaryRelation Name="S" Elements="2 1" />

<BinaryRelation Name="P" Tuples="(1,1) (2,1)" />

</DecaWorld>

Homework 3

Exercise 5

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Pentagon, Square, BackOf):

Er bevindt zich precies één vijfhoek op het bord en die vijfhoek ligt achter alle vierkanten.

?x: Pentagon(x) ? ?y: Pentagon(y)  ? x=y ? ?z: Square(z) ? BackOf(x,z)

Homework 4

Exercise 1

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, Medium, BackOf, LeftOf, Large):

Elk vierkant dat middelmatig is of achter iets middelmatig ligt, bevindt zich links van alle grote driehoeken.

?x: Square(x) ? (Medium(x) ? ?y: Medium(y) ? BackOf(x,y)) ? ?z: Triangle(z) ? Large(z) ? LeftOf(x,z)

Homework 4

Exercise 2

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, Pentagon, FrontOf, RightOf):

Minstens één driehoek bevindt zich voor elk vierkant dat rechts van alle vijfhoeken ligt.

?x: Triangle(x) ? ?y: Square(y) ? (?z: Pentagon(z) ? RightOf(y,z)) ? FrontOf(x,y)

Homework 4

Exercise 3

Construeer een Geo-wereld waarin de volgende zinnen waar zijn (hier is a een constante-identifier):

?x: ?y: x?y ? Triangle(x) ? Triangle(y) ? [?z: Square(z) ? LeftOf(z,x) ? BackOf(x,z)] ? ?z: Square(z) ? LeftOf(z,y) ? BackOf(y,z);

¬?x: ?y: x?y ? (?z: Square(z) ? BackOf(x,z)) ? ?z: Square(z) ? BackOf(y,z);

?y: ?z: Square(y) ? Square(z) ? y?z ? LeftOf(y,a) ? BackOf(a,y)

<GeoWorld>

<Square Size="2" Row="2" Column="6" />

<Triangle Size="2" Row="3" Column="4" Name="a" />

<Triangle Size="2" Row="3" Column="5" />

<Square Size="2" Row="4" Column="2" />

<Square Size="2" Row="4" Column="3" />

</GeoWorld>

Homework 4

Exercise 4

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, Pentagon, BackOf, RightOf):

Minstens twee vierkanten liggen achter al de driehoeken die zich rechts van alle vijfhoeken bevinden.

?x: Square(x) ? ?y: Square(y) ? x?y ? ?z: Triangle(z) ? (?u: Pentagon(u) ? RightOf(z,u)) ? BackOf(x,z) ? BackOf(y,z)

Homework 4

Exercise 5

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Pentagon, Large, LeftOf):

Er ligt geen enkele vijfhoek op het bord tenzij het aantal grote figuren links van a precies twee is.

Met "A tenzij B" , bedoelen we "A ? B".

(¬?x: Pentagon(x)) ? ?x: ?y: x?y ? Large(x) ? Large(y) ? LeftOf(x,a) ? LeftOf(y,a) ? ?z: Large(z) ? LeftOf(z,a) ? z=x ? z=y

Homework 5

Exercise 1

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, RightOf):

Alleen maar vierkanten kunnen twee of meer vierkanten rechts van zich liggen hebben.

?x: (?y: Square(y) ? RightOf(y,x) ? ?z: Square(z) ? RightOf(z,x) ? y?z) ? Square(x)

Homework 5

Exercise 2

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, RightOf, FrontOf):

Hoogstens één figuur bevindt zich voor elk vierkant dat rechts van die figuur ligt.

¬?x:?y: x ? y ? (?z: Square(z) ? RightOf(z,x) ? FrontOf(x,z)) ? (?z:Square(z) ? RightOf(z,y) ? FrontOf(y,z))

Homework 5

Exercise 3

Construeer één Geo-wereld waarin de twee volgende zinnen NIET dezelfde waarheidswaarde hebben:

?x: Square(x) ? [?y: Triangle(y) ? RightOf(x,y)] ? Large(x);

?x: Square(x) ? [?y: Triangle(y) ? Small(y) ? RightOf(x,y)] ? Large(x)

<GeoWorld>

<Square Size="1" Row="4" Column="3" />

<Triangle Size="3" Row="4" Column="4" />

<Square Size="3" Row="4" Column="5" />

</GeoWorld>

Homework 5

Exercise 4

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, RightOf):

Alle vierkanten, behalve hoogstens één, bevinden zich rechts van alle driehoeken.

¬?x:?y: x ? y  ? Square(x) ? Square(y) ? ¬(?z:Triangle(z) ? RightOf(x,z)) ? ¬(?z:Triangle(z) ? RightOf(y,z))

Homework 5

Exercise 5

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, FrontOf):

Er zijn hoogstens twee figuren die voor eenzelfde vierkant liggen.

¬?x:?y:?z:x ? y ? x ? z ? y ? z ? ?s: Square(s)  ? FrontOf(x,s) ? FrontOf(y,s) ? FrontOf(z,s)

Homework 6

Exercise 1

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, RightOf):

Geen enkel vierkant ligt rechts van minstens één driehoek.

¬?x: Square(x) ? ?y:Triangle(y) ? RightOf(x,y)

Homework 6

Exercise 2

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Square, Small, Large, BackOf):

Elke kleine driehoek ligt achter alle grote vierkanten.

?x: Small(x) ? Triangle(x) ? ?y: Large(y) ? Square(y) ? BackOf(x,y)

Homework 6

Exercise 3

Construeer een Geo-wereld waarin de volgende twee zinnen waar zijn:

¬?x: ?y: ?z: [?t: BackOf(x,t) ? BackOf(y,t) ? BackOf(z,t) ? Square(t)] ? x=y ? x=z ? y=z; ?x: ?y: ?z: [BackOf(x,a) ? BackOf(y,a) ? BackOf(z,a) ? Square(a)] ? x=y ? x=z ? y=z

<GeoWorld> 

 <Triangle Size="3" Row="1" Column="3" />
 <Triangle Size="1" Row="1" Column="5" />
 <Square Size="1" Row="3" Column="4" Name="a" />
 <Square Size="2" Row="4" Column="3" />

</GeoWorld>

Homework 6

Exercise 4

Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren:

[?x: ?y: U(x) ? W(y)] ? ?y: ?x: U(x) ? W(y)

<DecaWorld Size="2"> 

 <UnaryRelation Name="U" Elements="1 2" />
 <UnaryRelation Name="W" Elements="1" />

</DecaWorld>

Homework 6

Exercise 5

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, Large, LeftOf, BackOf):

Minstens één vierkant heeft iets links van zich liggen waar zich niets groot achter bevindt.

?x: Square(x)  ? ?y: LeftOf(y,x)  ? ¬?z: Large(z) ? BackOf(z,y)

Homework 7

Exercise 1

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Square, LeftOf):

Minstens één vierkant bevindt zich links van alle andere vierkanten.

?x: Square(x) ? ?y: x ? y  ? Square(y) ? LeftOf(x,y)

Homework 7

Exercise 2

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Triangle, Pentagon, BackOf, Large):

Alle grote figuren waar zich geen driehoeken achter bevinden zijn vijfhoeken.

?x: Large(x) ? ¬(?y: Triangle(y) ? BackOf(y,x)) ? Pentagon(x)

Homework 7

Exercise 3

Toon aan dat de volgende formule niet logisch waar is door een geschikte Deca-wereld te construeren:

{(?y: R(y,y)) ? ?y: U(y)} ? {(?y: R(y,y)) ? ?y: ?y: U(y)}

<DecaWorld Size="2"> 

 <UnaryRelation Name="U" Elements="1" />
 <BinaryRelation Name="R" Tuples="(1,1) (2,2)" />

</DecaWorld>

Homework 7

Exercise 4

Toon aan dat de derde zin hieronder geen logisch gevolg is van de eerste twee zinnen, door een geschikte Deca-wereld te construeren:

?z: S(z) ? ?y: S(y) ? R(z,y); ?x: ?y: R(x,y) ? R(y,x); (?x: S(x)) ? ?y: ?z: S(y) ? S(z) ? R(y,z)

<DecaWorld Size="2"> 

 <UnaryRelation Name="S" Elements="1 2" />
 <BinaryRelation Name="R" Tuples="(1,1) (1,2) (2,1)" />

</DecaWorld>

Homework 7

Exercise 5

Geef een trouwe vertaling naar predikatenlogica-taal voor de volgende uitspraak over Geo-werelden (relatie-identifiers: Small, Triangle, Square, Pentagon, LeftOf, BackOf):

Minstens twee kleine vijfhoeken liggen links van éénzelfde driehoek waar geen enkel vierkant achter ligt.

?x: ?y: x ? y ? Pentagon(x) ? Pentagon(y) ? Small(x) ? Small(y) ? ?z: Triangle(z) ? LeftOf(x,z) ? LeftOf(y,z) ? ¬(?s: Square(s) ? BackOf(s,z))

Homework 8

Exercise 1

(Oefl. 910) Geef een KE-bewijs van de zin

?x: S(x) ? (W(x) ? V(x))

uit de verzameling bestaande uit de volgende zinnen:

¬?x: S(x) ? ?y: P(x,y);
?y: ?x: P(y,x) ? V(y) ? W(y)

Homework 8

Exercise 2

Homework 8

Exercise 3

Homework 8

Exercise 4

Homework 8

Exercise 5

Chapter 9

Oefening 1

» ?z: ?y: (?x: K(x,y)) ? P(y,z) #1: Hypothesis
» ?x: ?y: K(x,y) ? K(y,x) #2: Hypothesis
» ¬{?x: (?z: K(x,z)) ? ?y: P(x,y)} #3: NegatedConclusion
» ¬{(?z: K(a,z)) ? ?y: P(a,y)} #4: ERule(3)
» ?z: K(a,z) #5: PropRule(4)
» ¬{?y: P(a,y)} #6: PropRule(4)
» K(a,b) #7: ERule(5)
» ?y: (?x: K(x,y)) ? P(y,c) #8: ERule(1)
» ¬{P(a,c)} #9: ARule(6)
» (?x: K(x,a)) ? P(a,c) #10: ARule(8)

Case A Closed
» ?x: K(x,a) #11: Case A
» P(a,c) #13: PropRule(11,10)
» Contradiction: 13,9


Case B Closed
» ¬{?x: K(x,a)} #12: Case B
» ¬{K(b,a)} #19: ARule(12)
» ?y: K(a,y) ? K(y,a) #20: ARule(2)
» K(a,b) ? K(b,a) #21: ARule(20)
» ¬{K(a,b)} #22: PropRule(21,19)
» Contradiction: 22,7

Oefening 2

» (?x: U(x)) ? ?y: ?z: (U(y) ? U(z)) ? R(y,z) #1: Hypothesis
» ¬{?x: U(x) ? ?y: U(y) ? R(x,y)} #2: NegatedConclusion
» ?x: U(x) #3: PropRule(1)
» ?y: ?z: (U(y) ? U(z)) ? R(y,z) #4: PropRule(1)
» U(a) #5: ERule(3)
» ¬{U(a) ? ?y: U(y) ? R(a,y)} #6: ARule(2)
» ¬{?y: U(y) ? R(a,y)} #7: PropRule(6,5)
» ¬{U(b) ? R(a,b)} #8: ERule(7)
» ?z: (U(a) ? U(z)) ? R(a,z) #9: ARule(4)
» (U(a) ? U(b)) ? R(a,b) #10: ARule(9)
» U(b) #11: PropRule(8)
» ¬{R(a,b)} #12: PropRule(8)


Case A Closed
» U(a) ? U(b) #13: Case A
» R(a,b) #15: PropRule(13,10)
» Contradiction: 15,12


Case B Closed
» ¬{U(a) ? U(b)} #14: Case B
» ¬{U(b)} #17: PropRule(14,5)
» Contradiction: 17,11

Oefening 3

» ?z: ?y: (?x: U(x)) ? P(z,y) #1: Hypothesis
» (?x: P(x,x)) ? ?y: ?z: R(y,z) #2: Hypothesis
» ¬{?x: (?z: U(z) ? S(x)) ? ?y: S(y) ? R(x,y)} #3: NegatedConclusion
» ?y: (?x: U(x)) ? P(a,y) #4: ERule(1)
» ¬{(?z: U(z) ? S(b)) ? ?y: S(y) ? R(b,y)} #5: ERule(3)
» ?z: U(z) ? S(b) #6: PropRule(5)
» ¬{?y: S(y) ? R(b,y)} #7: PropRule(5)
» U(c) ? S(b) #8: ERule(6)
» U(c) #9: PropRule(8)
» S(b) #10: PropRule(8)

Case A Closed
» ?x: P(x,x) #11: Case A
» ?y: ?z: R(y,z) #13: PropRule(11,2)
» ¬{S(b) ? R(b,b)} #18: ARule(7)
» ?z: R(b,z) #19: ARule(13)
» R(b,b) #20: ARule(19)
» ¬{S(b)} #21: PropRule(20,18)
» Contradiction: 21,10

Case B Closed
» ¬{?x: P(x,x)} #12: Case B
» (?x: U(x)) ? P(a,a) #23: ARule(4)
» ¬{P(a,a)} #24: ARule(12)
» ¬{?x: U(x)} #25: PropRule(24,23)
» ¬{U(c)} #26: ARule(25)
» Contradiction: 26,9

Oefening 4

» ?x: ?y: [?z: Pentagon(z) ? BackOf(y,z)] ? LeftOf(x,y) #1: Hypothesis
» ?z: Pentagon(z) #2: Hypothesis
» ¬{?x: ?y: [?z: Pentagon(z) ? BackOf(y,z)] ? LeftOf(x,y)} #3: NegatedConclusion
» ?y: [?z: Pentagon(z) ? BackOf(y,z)] ? LeftOf(a,y) #4: ERule(1)
» ¬{?y: [?z: Pentagon(z) ? BackOf(y,z)] ? LeftOf(a,y)} #5: ARule(3)
» ¬{[?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z)] ? LeftOf(a,b)} #6: ERule(5)
» ?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z) #7: PropRule(6)
» ¬{LeftOf(a,b)} #8: PropRule(6)
» Pentagon(c) #9: ERule(2)
» Pentagon(c) ? BackOf(b,c) #10: ARule(7)
» BackOf(b,c) #11: PropRule(10,9)
» [?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z)] ? LeftOf(a,b) #12: ARule(4)

Case A Closed
» ?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z) #13: Case A
» LeftOf(a,b) #15: PropRule(13,12)
» Contradiction: 8,15

Case B Closed
» ¬{?z: Pentagon(z) ? BackOf(b,z)} #14: Case B
» ¬{Pentagon(c) ? BackOf(b,c)} #17: ARule(14)
» ¬{Pentagon(c)} #18: PropRule(17,11)
» Contradiction: 18,9

oefening 5

» ?x: ?z: S(z) ? ?y: P(y,z) ? R(x,y) #1: Hypothesis
» ?z: S(z) #2: Hypothesis
» ¬{?x: ?y: [?z: S(z) ? P(y,z)] ? R(x,y)} #3: NegatedConclusion
» ?z: S(z) ? ?y: P(y,z) ? R(a,y) #4: ERule(1)
» S(b) #5: ERule(2)
» ¬{?y: [?z: S(z) ? P(y,z)] ? R(a,y)} #6: ARule(3)
» ¬{[?z: S(z) ? P(c,z)] ? R(a,c)} #7: ERule(6)
» ?z: S(z) ? P(c,z) #8: PropRule(7)
» ¬{R(a,c)} #9: PropRule(7)
» S(b) ? ?y: P(y,b) ? R(a,y) #10: ARule(4)
» ?y: P(y,b) ? R(a,y) #11: PropRule(10,5)
» P(c,b) ? R(a,c) #12: ARule(11)
» ¬{P(c,b)} #13: PropRule(12,9)
» S(b) ? P(c,b) #14: ARule(8)
» ¬{S(b)} #15: PropRule(14,13)
» Contradiction: 15,5

Chapter 10

Oefening 1

?x: ?a: ?b: U(x) ? ( (W(a) ? ¬R(b,y)) ? (R(x,y) ? ¬W(x)))

Oefening 2

?x: ?a: ?b: ?c: ?d:?e: (U(x) ? (¬W(a) ? ¬R(b,y))) ? (¬U(c) ? W(d) ? R(e,y))

Oefening 3

?z:?x:?y:?a: S(z) ? ([S(a) ? P(y,a)] ? R(x,y) );

Oefening 4

?y:?a:?b:(¬R(a,y) ? ¬V(a)) ? V(b) ? R(y,b)

Oefening 5

?a: ?b: ?c: [W(a) ? ¬R(x,b)] ? U(c)

Chapter 11

Oefening 1

?x: ?y: Ster(x)  ? x?y ? Ster(y)  ? Knap(y)  ? (?z: Manager(z,y)  ? ¬Jaloers(z))  ? Haat(x,y)

WIP

Overgenomen van "http://examens.wina.be/index.php?title=Logica_voor_Informatici/Oefeningen&oldid=18300"