Meetkunde II

Professor Franki Dillen

Joeri Van der Veken

Het examen bestaat uit een deel theorie, mondeling te verdedigen, en een deel oefeningen die enkel schriftelijk uit te werken zijn. Het examen is openboek. Dillen is hierbij zeer los: je kan steeds gewoon rechtstaan om naar het toilet te gaan, of om drinken of eten uit een nabije automaat te halen. Je krijgt 5 uur om alle vragen op te lossen. Cursus Meetkunde I, schrijfgerief en rekenmachine zijn toegelaten. In 2007-2008 is een deel gegeven door Joeri Van der Veken. Deze heeft dan ook een deel van het examen afgenomen. In 2009-2010 waren er drie lesgevers: Joeri Van der Veken voor projectieve meetkunde, Hendrik Hubrechts voor de algebraïsche meetkunde en Professor Dillen gaf de differentiaalmeetkunde. De mondelinge vragen waren dan ook verdeeld over de drie.

Examens

2010-06-23

Theorie

1. Als $l_1$ en $l_2$ rechten zijn in ${\mathbb{𝔸}}^2$, met oneigenlijke punten $P_1$ en $P_2$ in de gecomplexifieerde ruimte $(\mathbb{ℝ}{P}^2{)}^{\mathbb{ℂ}}$. Bewijs dan dat de hoek tussen $l_1$ en $l_2$ gelijk is aan $\frac{1}{2}|\log (P_1,P_2,I,J)|$, waarbij log de complexe logaritme is en I en J de isotrope punten (de punten op oneindig van een cirkel, als je de rechte $x_2=0$ als oneigenlijke rechte neemt zijn I en J gelijk aan $[(1,i,0)]$ en $[(1,-i,0)]$).
2. We definiëren de rechten $l_i$ als $x_i=0$ voor i = 0,1,2. We hebben een kromme C in $\mathbb{ℝ}{P}^2$ waartoe $E_0$, $E_1$ en $E_2$ toe behoren en die in $E_0$ de rechten $l_1$ en $l_2$, in $E_1$ de rechten $l_0$ en $l_2$ en in $E_2$ de rechten $l_0$ en $l_1$ als hoofdraaklijnen heeft.
   1. Wat is de laagste graad die C kan hebben en bewijs.
   2. Bewijs met Stelling 13 (pagina 146) dat de graad van een niet-ontaarde kromme C groter of gelijk is aan 5.
   3. Geef een voorbeeld van een kromme C met een zo laag mogelijke graad en bewijs dat de graad niet lager kan.
3. Beschouw een oppervlak $M\subset {\mathbb{𝔼}}^3$ gevormd door $x(u,v)=\alpha (u)+v\beta (u)$, met $\alpha (u)\in {\mathbb{𝔼}}^3$ voor alle u en $\beta (u)\in T{\mathbb{𝔼}}^3$ voor alle u. Ook weten we dat $\beta (u)\cdot \beta (u)=1$ en ${\beta }^{\prime }(u)\cdot {\beta }^{\prime }(u)\ne 0$.
   1. Bewijs dat de kromme $\gamma (t)=\alpha (t)+v(t)\beta (t)$ uniek is als ${\gamma }^{\prime }(t)\cdot {\beta }^{\prime }(t)=0$.
   2. Toon aan dat je x ook kunt schrijven als $x(u,v)=\gamma (u)+v\beta (u)$.
   3. Bewijs dat ${\gamma }^{\prime }\times \beta =p{\beta }^{\prime }$ met $p(u)\in \mathbb{ℝ}$ en leidt daaruit af dat de gausskromming gelijk is aan $K=\frac{-p^2}{(p^2+v^2{)}^2}$.
   4. Bewijs vervolgens dat een plat regeloppervlak gelijk is aan een cilinder, een kegel of een raaklijnenoppervlak.

Oefeningen

1. 1. Bewijs dat als een projectieve afbeelding $f\in GL(2,\mathbb{ℝ})$ met $f\circ f=Id\ne f$ het spoor van f gelijk is aan 0.
   2. Stel dat ABC een driehoek is in ${\mathbb{𝔼}}^2$, en P,Q en R drie collineaire punten op de rechte l (die verschillend is van AB, BC en CA). Dan zijn $P^{\prime }=l\cap AB$, $Q^{\prime }=l\cap BC$ en $R^{\prime }=l\cap CA$. Bewijs dan dat de rechten PC, QA en RB concurrent zijn als en slechts als er een projectieve transformatie g bestaat die voldoet aan de voorwaarden uit puntje (1) en die P, Q en R afbeeldt op respectievelijk P', Q' en R'.
   3. We hebben twee rechten $l_1$ en $l_2$ in $\mathbb{(}A{)}^3$ die loodrecht op elkaar staan. Vind een afbeelding die de oneigenlijke punten op de (gecomplexifieerde) ruimte op oneindig van deze twee rechten op elkaar afbeeldt.
   4. Gebruik punje (2) en (3) van deze vraag om aan te tonen dat de hoogtelijnen van een driehoek concurrent zijn.

1. We hebben een rationale kromme C in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ gegeven met $x=\frac{2b{t}^2}{1+t^2}$ en $y=\frac{2b{t}^3}{1+t^2}$.
   1. Bepaal de graad van C zonder t te elimineren.
   2. Bepaal de voorwaarden opdat drie punten van de kromme C met parameters $t_1$, $t_2$ en $t_3$ collineair zijn.
   3. Bepaal de algebraische schrijfwijze van C.

2009-08-28

Ik heb erop gezet wat ik mij nog herinner... (mensen die kunnen aanvullen?) --Pieterrr 28 aug 2009 15:04 (UTC)

Theorie

Deze vraag moest verdedigd bij Joeri

1. 1. Definieer een poolhypervlak van een punt t.o.v. 2 Hypervlakken in $\mathbb{ℂ}{P}^n$ op 2 verschillende manieren.
   2. Bespreek de meetkundige constructie van de poollijn van een punt in $\mathbb{ℂ}{P}^2$.

Deze vragen moesten verdedigd bij professor Dillen

1. Definieer de begrippen enkelvoudig en meervoudig punt voor een willekeurig punt P van een algebraïsche kromme C = V(F) in $\mathbb{ℂ}{P}^2$ aan de hand van het begrip snijpuntsmultipliciteit. Voer ook het begrip hoofdraaklijn in.
2. Beschouw een $x:U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2\to M\subseteq \mathbb{𝔼}$ waarvoor $x_u*x_v=0$ en $x_u*x_u=x_v*x_v$, Bewijs dan dat $x_{uu}+x_{vv}=2EH\xi$ (hint: bewijs eerst dat $x_{uu}+x_{vv}$ normaal is)

Oefeningen

1. Bepaal een projectieve $\mathbb{ℂ}{P}^2\to \mathbb{ℂ}{P}^2$ transformatie die de rechten $x_0+x_1=0$, $x_0+x_2=0$, $x_0+x_1+x_2=0$, $x_1+x_2=0$ afbeeldt op $x_0+x_2=0$, $x_0+x_1=0$, $x_1+x_2=0$, $x_0+x_1+x_2=0$, respectievelijk.
2. ?
3. ?

2009-06-24

Media:ExamenMeetkunde2bis.pdf

2009-06-17

Theorie

1. Beschouw ${\mathbb{𝔼}}^3$. Een kromme $\alpha (t)$ op een oppervlak is een hoofdkromme indien de afgeleide ${\alpha }^{\prime }(t)$ steeds langs een hoofdrichting ligt, m.a.w. als $S{\alpha }^{\prime }(t)$ evenredig is met ${\alpha }^{\prime }(t)$ voor alle $t$ (waarbij $S$ de shape-operator voorstelt). Veronderstel nu dat een oppervlak $M$ langs een kromme $\alpha (t)$ raakt aan een sfeer met straal $R$ en middelpunt $m$. Toon aan dat $\alpha (t)$ een hoofdkromme is.
2. Gegeven zijn een punt $P\in \mathbb{ℝ}{P}^n$ en een hyperkwadriek ${\mathscr{H}}=\{[x]\in \mathbb{ℝ}{P}^n|x^{T}Ax=0\}$. Dan definiëren we het poolhypervlak van $P$ ten opzichte van ${\mathscr{H}}$ als ${\pi }_P({\mathscr{H}})=\{[x]\in \mathbb{ℝ}{P}^n|p^{T}Ax=0\}$. Bewijs nu de volgende uitspraken.
   1. Het begrip poolhypervlak is een projectief invariant, m.a.w. $\mathrm{\forall }\varphi \in PL(n,\mathbb{ℝ}):\varphi ({\pi }_P({\mathscr{H}}))={\pi }_{\varphi (P)}(\varphi ({\mathscr{H}}))$.
   2. Als $P$ op het hyperkwadriek ${\mathscr{H}}$ ligt, dan valt het poolhypervlak samen met het raakhypervlak aan ${\mathscr{H}}$ in $P$.
   3. Het poolhypervlak is de meetkundige plaats van alle punten die harmonisch toegevoegd zijn aan $P$ ten opzichte van $l\cap {\mathscr{H}}$, waarbij $l$ een variabele rechte is door $P$.

Oefeningen

1. Zij $\varphi :\mathbb{ℝ}{P}^2\to \mathbb{ℝ}{P}^2$ een projectieve afbeelding en $P\in \mathbb{ℝ}{P}^2$.
   1. Toon aan dat volgende twee uitspraken equivalent zijn.
      1. Voor alle $Q\in \mathbb{ℝ}{P}^2$ zijn $P,Q,\varphi (Q)$ colineaire punten.
      2. Voor alle rechten $l$ door $P$ geldt dat $\varphi (l)=l$.
   2. Toon aan dat een punt $P$ dat aan de voorwaarden van het voorgaande voldoet, een vast punt is.
   3. Toon aan dat dit punt uniek is in het geval $\varphi \ne Id$.
2. Beschouw twee viervlakken $ABCD$ en $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ in $\mathbb{ℝ}{P}^2$. Veronderstel dat $P_1=AB\cap A^{\prime }{B}^{\prime }$, $P_2=BC\cap B^{\prime }{C}^{\prime }$, $P_3=AC\cap A^{\prime }{C}^{\prime }$, $P_4=BD\cap B^{\prime }{D}^{\prime }$ en $P_5=CD\cap C^{\prime }{D}^{\prime }$ alle colineair zijn en dus op een gemeenschappelijke rechte $l$ liggen. Toon aan dat dan ook $P_6=AD\cap A^{\prime }{D}^{\prime }$ op deze rechte ligt.
3. Bepaal de snijpunten en hun multipliciteiten van $C_1=V(x_0^3+x_1^3-2x_0{x}_1{x}_2)$ en $C_2=V(x_0^3+x_1^3-x_2(x_0^2+x_1^2))$.
4. Beschouw een afbeelding $x:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{𝔼}}^3:(u,v)\mapsto x(u,v)=(u,v,f(u,v))$.
   1. Bepaal hiervan de Gausskromming en de gemiddelde kromming.
   2. Veronderstel dat $f(u,v)=f_1(u)+f_2(v)$ en $f_1(0)=f_2(0)=f_1^{\prime }(0)=f_2^{\prime }(0)=0$. Toon aan dat als $x$ een minimaal oppervlak beschrijft, dat dan $f(u,v)=0$ of $f(u,v)=\frac{1}{a}\ln \left(\frac{\cos (au)}{\cos (av)}\right)$ met $a\in {\mathbb{ℝ}}_0$.

DoWh4P <a href="http://uzmmmonxgifr.com/">uzmmmonxgifr</a>, [url=http://imljrvjgqprs.com/]imljrvjgqprs[/url], [link=http://lkpddvyidyue.com/]lkpddvyidyue[/link], http://jcqizzsrdwzn.com/

resource chronic extended and ould site much that joint, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars7.html buy tramadol 180,  %-]]], http://www.teatromagro.com/share/tables/bars68.html ultram pharmacy, jabxq, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars51.html tramadol for dogs arthritis, 4372, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars54.html tramadol overdose dogs, 8-[, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars64.html what is ultram er for, >:PPP, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars72.html what is tramadol like, 42533, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars4.html cheap tramadol overnight delivery, fgragp, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars27.html tramadol 100mg, mcpn, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars18.html order tramadol online no prescription,  %-D, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars21.html purchase tramadol without prescription, 7059, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars23.html tramadol 50 mg hcl, :DDD, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars43.html tramadol hydrochloride uses, 533, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars1.html cheap tramadol online, 78945, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars73.html what is ultram, 584184, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars63.html ultram er high, iwhhpk,

norepinephrine hasconcomitantly incidence netherlands are give fourduring our or tramadol and, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars33.html tramadol overdose in dogs, 40859, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars68.html ultram pill identifier, 8], http://www.teatromagro.com/share/tables/bars64.html ultram er abuse, 8-[[[, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars10.html buy cheap ultram,  :)), http://www.teatromagro.com/share/tables/bars42.html tramadol hcl 50mg used, idddit, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars49.html tramadol hydrochloride drug, 8-PPP, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars53.html tramadol online pharmacy, dboymw, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars39.html tramadol ingredients, 2484, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars19.html order tramadol next day,  :-D, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars50.html tramadol hydrochloride injection, =-[[[, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars38.html tramadol for dogs and humans, 89183, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars30.html tramadol addiction potential, 8-((, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars45.html tramadol hcl effects, wkxf, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars32.html order tramadol cod overnight, gpf, http://www.teatromagro.com/share/tables/bars6.html buy tramadol online no prescription, 8],

cting primary vomiting healthcare  his dosage I buy,  http://www.teatromagro.com/share/tables/bars7.html buy tramadol cod,  yplyod,  http://www.teatromagro.com/share/tables/bars51.html tramadol in dogs,  %DDD,  http://www.teatromagro.com/share/tables/bars54.html tramadol overdose amount,  669940,  http://www.teatromagro.com/share/tables/bars65.html ultram er online,  cwofrl,  http://www.teatromagro.com/share/tables/bars27.html tramadol 100mg side effects,  3115,  http://www.teatromagro.com/share/tables/bars10.html buy ultram online,  8))),  http://www.teatromagro.com/share/tables/bars15.html generic ultram er,  3133,  http://www.teatromagro.com/share/tables/bars70.html ultram withdrawal help,  iyckm,  http://www.teatromagro.com/share/tables/bars9.html buy tramadol medication,  =(,  http://www.teatromagro.com/share/tables/bars23.html tramadol 50mg side effects,  :-]]],  http://www.teatromagro.com/share/tables/bars39.html is tramadol a narcotic,  6735,  http://www.teatromagro.com/share/tables/bars73.html what is ultram used for,  =-PPP,  http://www.teatromagro.com/share/tables/bars25.html tramadol 50 mg dosage,  diaq,  http://www.teatromagro.com/share/tables/bars32.html tramadol cod,  >:-PPP,