Analytical Mechanics

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

General Information

The course is taught by professor Christian Maes and professor Wojciech De Roeck. Although the course overview mentions a lot of symplectic geometry, this isn't really taught in this course.

The biggest part is the part of professor Maes. Most of this is repetition as well as deepening of knowledge from the bachelor course in classical mechanics. A part which isn't covered in previous courses is about the Hamilton-Jacobi formalism. Professor the Roeck's part concerns perturbation theory and integrability of Hamiltonian systems, more specifically the ideas of KAM theory.

Sometimes, professor Maes gives a few possible questions during class, which also really get asked during the exam. Hence it is a good idea to work out these questions beforehand.

The second part has previously been taught by professor Van Proeyen and professor Van Riet.

Exams

There is a picture on Toledo of a blackboard on which a summary of the lectures is given, with possible exam questions or relevant parts highlighted. The picture is from May 2018, but may still be relevant: here is the picture

Academic year 2023-2024

Canonical Transformation

- Show that a general coordinate transformation is a special kind of canonical transformation

- Find the transformation formula for the momenta $p_x(\lambda ),p_y(\lambda ),p_z(\lambda )$, for a rotation around the z-axis with angle $\lambda$.

- Find the conserved quantity corresponding with this transformation using ONLY the transformation of the momenta.

Constants of motion

Find as many constants of motion for the following Hamiltonian:

$H=p_1^{2}a+p_2^{2}b+V(f(q_1,q_2))$

$f(q_1,q_2)=q_1^2/a+q_2^2/b$

Do they only occur for special values of a and b?

Action-Angle variables

Find the frequency of the following system:

$H=p^2/2m+V_0|q|$

And show that it has units of $s^{-1}$

Flow

Find the fixed point solution of

$\dot{x}=\sqrt{x}$

Find all solutions with x(0)=0, are there multiple, why?

Academic year 2020-2021

25 January 2021

It was announced this year that there would be no questions on the exam about the part of professor De Roeck. The exam was written, open book and lasted approximately 3 hours.

Explain

Comment on the following statements:

- A force being conservative depends on the space (in Newtonian mechanics).

- ...

- The map $x\mapsto 3x(1-x)$ is chaotic.

- The Hamiltonian is the energy of the system.

Young

Prove the Young inequality: for every $x,y>0$ and for every $\alpha ,\beta >0$ such that $\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=1$,

$xy\le \frac{x^{\alpha }}{\alpha }+\frac{y^{\beta }}{\beta }$.

Action

Consider the sytem with Lagrangian $L=m{\dot{q}}^2/2-\kappa q^2/2$. Consider $S$ as a function of the inital time and postion $t_1,q_1$ and the final time and position $t_2,q_2$. Show that $\frac{\partial S}{\partial q_2}=p_2$.

Liouville

You are given the following

$\dot{x}=\gamma x-ay,\dot{y}=-\gamma y-ax$

Write down the Liouville equation and solve it. Is the phase space volume contracting/expanding? When is the evolution Hamiltonian?

Error

Find the error in the following reasoning.

Suppose a system has a Lagrangian $L=\frac{1}{2}{G}_{ab}(q){\dot{q}}^a{\dot{q}}^b$. The potential is zero, hence the Hamiltonian is equal to the Lagrangian. From Hamilton's equations we have $\dot{p_a}=-{\partial }_{a}H$.

Hence ${\dot{p}}_a={\partial }_{a}H=-{\partial }_a(\frac{1}{2}{G}_{bc}(q){\dot{q}}^b{\dot{q}}^c)=-\frac{1}{2}{\partial }_a{G}_{bc}(q){\dot{q}}^b{\dot{q}}^c$.

On the other hand, from Lagrange's equations we have that

${\dot{p}}_a=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^a}={\partial }_{a}L=\frac{1}{2}{\partial }_a{G}_{bc}(q){\dot{q}}^b{\dot{q}}^c$.

Canonical transformation

Is the transformation $Q=qt,P=pt$ canonical? Why (not)?

Prove

Prove that the matrix $J$$ has determinant one. Prove that the Shannon entropy $-\int dx{\rho }_t(x)\log ({\rho }_t(x))$ is constant in time (where $x=(q,p)$).

Perturb

Calculate the period of the system with potential $V(x)=x^2+\alpha x^4$ up to first order in alpha.

Academic year 2016-2017

Exam 25 august 2017

Exam 12 june 2017

Academic year 2015-2016

Exam 1 september 2016

Exam 6 june 2016

Academic year 2013-2014

23 januari 2014

Deel Maes Exam 23 January 2014 - part Maes

Deel Van Riet Examen 23 januari 2014 - deel Van Riet

Academiejaar 2011-2012

26 januari 2012 (VM)

Deel Maes

Geen examenvragen.

Deel Van Proeyen

Examen 26 januari 2012 (VM) - deel Van Proeyen

26 januari 2012 (NM)

Deel Maes

We moesten hiervoor gewoon 10 oefeningen maken die hij de laatste les had gegeven. Tijdens het mondeling besprak hij dan een paar van die vragen en stelde hij bijvragen.

Deel Van Proeyen

1. Neem als ruimte de sfeer in twee dimensies $S^2$.
   • Wat is hier de rakende ruimte $T_x{S}^2$ van?
   • Definieer de symplectische structuur hier nu op als volgt: zei $\overrightarrow{v}$ en $\overrightarrow{w}$ twee vectoren uit de rakende ruimte, $J(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})=\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{v}x\overrightarrow{w}$. Toon aan dat dit een symplectische structuur is( hint: je moet niet rekenen aan dJ).
   • Kies nu een basis en geef $J_{ij}$
   • Wat is de groep van canonische transformaties hierop.
   • Geef zo een een-parameter voorstelling van een canonische transformatie
2. Uw collega's deze voormiddag moesten aantonen dat de 5 eigenschappen van een Poisson haakje voldaan waren indien:
   • • $I^{ij}=-I^{ji}$
     • De oplossing van de oefening hieronder (de oplossing was gegeven, maar die ben ik vergeten)
   • Toon nu aan dat die eigenschappen voldaan zijn als J een symplectische structuur is.
   • We hebben ook de eigenschap $[X_f,X_h]=-X_{[f,h]}$ Toon dit aan door gebruik te maken van de twee bovenstaande eigenschappen (dus niet gebruiken dat J een symplectische structuur is). Hint: Vernoem de variabelen goed, en gebruik veel symmetrieën.

Academiejaar 2008-2009

21 januari 2009

Deel Maes

1. Gegeven is de Hamiltoniaan $H=\frac{p^2}{2m}+A(q)p+B(q)$
   • bereken $\dot{q}$
   • bereken de Lagrangiaan
2. De Lagrangiaan wordt in parabolische coördinaten gegeven door $L=\frac{m}{2}({\eta }^2+{\xi }^2)({\dot{\eta }}^2+{\dot{\xi }}^2)+\frac{m}{2}{\eta }^2{\xi }^2{\dot{\phi }}^2$. Zoek en vind de Hamiltoniaan in functie van de geconjugeerde momenta $p_{\eta }$ , $p_{\xi }$ en $p_{\phi }$.
3. Beschouw de eendimensionale beweging in een potentiaal $V(x)=-\frac{k{x}^2}{2}+\frac{k{x}^4}{4a^2}$ met $a\in \mathbb{ℝ}$.
   • Geef het faseportret
   • Toon aan dat de afgeleide naar de energie van de integraal $\oint pdx$ gelijk is aan aan de periode

Deel Van Proeyen

Kwijt.

Academiejaar 2007-2008

Januari 2008

Deel Maes

1. 2 functies in 3d waren gegeven en je moest onderzoeken of ze afleidbaar waren van een potentiaal
2. Noteer met S de oppervlakte gevormd door een gesloten kromme in de faseruimte. Zoek een verband tussen $\frac{dS}{dE}$ en de periode van de beweging. Doe dit eerst voor de harmonische oscillator.
3. Is de Lagrangiaan uniek? Bekijk een transformatie L naar L + f(t). Wanneer laat deze de fysica invariant? Wat bedoel je hier juist mee? En tot wat leiden coördinatentransformaties?
4. Een punt met massa $m_2$ hangt via een star touw van lengte $L$ vast aan een punt met masse $m_1$. Het punt kan op een horizontale as bewegen en hangt met een veer met veerconstante $K$ vast. Bereken de Lagrangiaan. Welk zijn de behouden grootheden?

Deel Van Proeyen

1. Time dependent constraints in D'Alembert
   • Bekijk een coordinatentransformatie x = x(q,t). Toon aan dat de bewegingsvergelijkingen invariant zijn voor een dergelijke transformatie, vanuit het principe van D'Alembert.
   • Bekijk nu constraints f(x(q,t),t) = 0. We kunnen deze implementeren door aan de Lagrangiaan een term toe te voegen: $L^{\prime }(x,\lambda )=L(x)+\lambda f(x,t)$. Toon aan dat de Euler Lagrange vergelijking voor $\lambda$ de constraint impliceert.
   • De bewegingsvergelijking voor x gaat wijzigen. Toon aan dat deze verandering niet bijdraagt aan de termen in het bewijs uit puntje 1.
2. Lagrange brackets Bekijk een coördinatentransformatie, zodat de coordinaten {x} gegeven zijn in functie van {u}. We definiëren de Lagrange brackets als volgt $\{u_j,u_i\}=-\frac{\partial x^k}{\partial u_i}{J}_{kl}\frac{\partial x^l}{\partial u_j}$.
   • Toon aan dat de Lagrange brackets de getransponeerde van de inverse van de Poisson brackets zijn. Doe dit door aan te tonen dat PL = 1 (eenheidsmatrix) met $L^{ij}=\{u_j,u_i\}$ en $P_{ij}=[u_i,u_j]$ (de gebruikelijke Poisson haken dus).
   • Bereken de canonische Lagrange gebrackets ($\{q^a,p_a\}$ en dergelijke) en toon aan dat ze gelijk zijn aan de canonische Poisson brackets.
   • Bekijk in de faseruimte van minimale dimensie f = 5q+p en g = 2p. Bereken de Lagrange en Poisson brackets van deze twee grootheden.
   • Toon aan dat een inverteerbare transformatie canonisch is als en slechts als ze de canonische Lagrange brackets behoudt.