Huidige versie van 18 jan 2024 09:34

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

General Information

The course is taught by professor Christian Maes and professor Wojciech De Roeck. Although the course overview mentions a lot of symplectic geometry, this isn't really taught in this course.

The biggest part is the part of professor Maes. Most of this is repetition as well as deepening of knowledge from the bachelor course in classical mechanics. A part which isn't covered in previous courses is about the Hamilton-Jacobi formalism. Professor the Roeck's part concerns perturbation theory and integrability of Hamiltonian systems, more specifically the ideas of KAM theory.

Sometimes, professor Maes gives a few possible questions during class, which also really get asked during the exam. Hence it is a good idea to work out these questions beforehand.

The second part has previously been taught by professor Van Proeyen and professor Van Riet.

Exams

There is a picture on Toledo of a blackboard on which a summary of the lectures is given, with possible exam questions or relevant parts highlighted. The picture is from May 2018, but may still be relevant: here is the picture

Academic year 2023-2024

Canonical Transformation

- Show that a general coordinate transformation is a special kind of canonical transformation

- Find the transformation formula for the momenta $p_{x} (λ), p_{y} (λ), p_{z} (λ)$ , for a rotation around the z-axis with angle $λ$ .

- Find the conserved quantity corresponding with this transformation using ONLY the transformation of the momenta.

Constants of motion

Find as many constants of motion for the following Hamiltonian:

$H = p_{1}^{2} a + p_{2}^{2} b + V (f (q_{1}, q_{2}))$

$f (q_{1}, q_{2}) = q_{1}^{2} / a + q_{2}^{2} / b$

Do they only occur for special values of a and b?

Action-Angle variables

Find the frequency of the following system:

$H = p^{2} / 2 m + V_{0} | q |$

And show that it has units of $s^{- 1}$

Flow

Find the fixed point solution of

$\dot{x} = \sqrt{x}$

Find all solutions with x(0)=0, are there multiple, why?

Academic year 2020-2021

25 January 2021

It was announced this year that there would be no questions on the exam about the part of professor De Roeck. The exam was written, open book and lasted approximately 3 hours.

Explain

Comment on the following statements:

- A force being conservative depends on the space (in Newtonian mechanics).

- ...

- The map $x \mapsto 3 x (1 - x)$ is chaotic.

- The Hamiltonian is the energy of the system.

Young

Prove the Young inequality: for every $x, y > 0$ and for every $α, β > 0$ such that $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = 1$ ,

$x y \leq \frac{x^{α}}{α} + \frac{y^{β}}{β}$ .

Action

Consider the sytem with Lagrangian $L = m {\dot{q}}^{2} / 2 - κ q^{2} / 2$ . Consider $S$ as a function of the inital time and postion $t_{1}, q_{1}$ and the final time and position $t_{2}, q_{2}$ . Show that $\frac{\partial S}{\partial q_{2}} = p_{2}$ .

Liouville

You are given the following

$\dot{x} = γ x - a y, \dot{y} = - γ y - a x$

Write down the Liouville equation and solve it. Is the phase space volume contracting/expanding? When is the evolution Hamiltonian?

Error

Find the error in the following reasoning.

Suppose a system has a Lagrangian $L = \frac{1}{2} G_{a b} (q) {\dot{q}}^{a} {\dot{q}}^{b}$ . The potential is zero, hence the Hamiltonian is equal to the Lagrangian. From Hamilton's equations we have $\dot{p_{a}} = - \partial_{a} H$ .

Hence ${\dot{p}}_{a} = \partial_{a} H = - \partial_{a} (\frac{1}{2} G_{b c} (q) {\dot{q}}^{b} {\dot{q}}^{c}) = - \frac{1}{2} \partial_{a} G_{b c} (q) {\dot{q}}^{b} {\dot{q}}^{c}$ .

On the other hand, from Lagrange's equations we have that

${\dot{p}}_{a} = \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{a}} = \partial_{a} L = \frac{1}{2} \partial_{a} G_{b c} (q) {\dot{q}}^{b} {\dot{q}}^{c}$ .

Canonical transformation

Is the transformation $Q = q t, P = p t$ canonical? Why (not)?

Prove

Prove that the matrix $J$ $ has determinant one. Prove that the Shannon entropy $- \int d x ρ_{t} (x) \log (ρ_{t} (x))$ is constant in time (where $x = (q, p)$ ).

Perturb

Calculate the period of the system with potential $V (x) = x^{2} + α x^{4}$ up to first order in alpha.

Academic year 2016-2017

Exam 25 august 2017

Exam 12 june 2017

Academic year 2015-2016

Exam 1 september 2016

Exam 6 june 2016

Academic year 2013-2014

23 januari 2014

Deel Maes Exam 23 January 2014 - part Maes

Deel Van Riet Examen 23 januari 2014 - deel Van Riet

Academiejaar 2011-2012

26 januari 2012 (VM)

Deel Maes

Geen examenvragen.

Deel Van Proeyen

Examen 26 januari 2012 (VM) - deel Van Proeyen

26 januari 2012 (NM)

Deel Maes

We moesten hiervoor gewoon 10 oefeningen maken die hij de laatste les had gegeven. Tijdens het mondeling besprak hij dan een paar van die vragen en stelde hij bijvragen.

Deel Van Proeyen

Neem als ruimte de sfeer in twee dimensies S2.
- Wat is hier de rakende ruimte $T_{x} S^{2}$ van?
- Definieer de symplectische structuur hier nu op als volgt: zei $\vec{v}$ en $\vec{w}$ twee vectoren uit de rakende ruimte, $J (\vec{v}, \vec{w}) = \vec{x} \cdot \vec{v} x \vec{w}$ . Toon aan dat dit een symplectische structuur is( hint: je moet niet rekenen aan dJ).
- Kies nu een basis en geef $J_{i j}$
- Wat is de groep van canonische transformaties hierop.
- Geef zo een een-parameter voorstelling van een canonische transformatie
Uw collega's deze voormiddag moesten aantonen dat de 5 eigenschappen van een Poisson haakje voldaan waren indien:
- - $I^{i j} = - I^{j i}$
  - De oplossing van de oefening hieronder (de oplossing was gegeven, maar die ben ik vergeten)
- Toon nu aan dat die eigenschappen voldaan zijn als J een symplectische structuur is.
- We hebben ook de eigenschap $[X_{f}, X_{h}] = - X_{[f, h]}$ Toon dit aan door gebruik te maken van de twee bovenstaande eigenschappen (dus niet gebruiken dat J een symplectische structuur is). Hint: Vernoem de variabelen goed, en gebruik veel symmetrieÃ«n.

Academiejaar 2008-2009

21 januari 2009

Deel Maes

Gegeven is de Hamiltoniaan H=p22m+A(q)p+B(q)
- bereken $\dot{q}$
- bereken de Lagrangiaan
De Lagrangiaan wordt in parabolische coÃ¶rdinaten gegeven door $L = \frac{m}{2} (η^{2} + ξ^{2}) ({\dot{η}}^{2} + {\dot{ξ}}^{2}) + \frac{m}{2} η^{2} ξ^{2} {\dot{φ}}^{2}$ . Zoek en vind de Hamiltoniaan in functie van de geconjugeerde momenta $p_{η}$ , $p_{ξ}$ en $p_{φ}$ .
Beschouw de eendimensionale beweging in een potentiaal V(x)=−kx22+kx44a2 met a∈ℝ.
- Geef het faseportret
- Toon aan dat de afgeleide naar de energie van de integraal $\oint p d x$ gelijk is aan aan de periode

Deel Van Proeyen

Kwijt.

Academiejaar 2007-2008

Januari 2008

Deel Maes

2 functies in 3d waren gegeven en je moest onderzoeken of ze afleidbaar waren van een potentiaal
Noteer met S de oppervlakte gevormd door een gesloten kromme in de faseruimte. Zoek een verband tussen $\frac{d S}{d E}$ en de periode van de beweging. Doe dit eerst voor de harmonische oscillator.
Is de Lagrangiaan uniek? Bekijk een transformatie L naar L + f(t). Wanneer laat deze de fysica invariant? Wat bedoel je hier juist mee? En tot wat leiden coÃ¶rdinatentransformaties?
Een punt met massa $m_{2}$ hangt via een star touw van lengte $L$ vast aan een punt met masse $m_{1}$ . Het punt kan op een horizontale as bewegen en hangt met een veer met veerconstante $K$ vast. Bereken de Lagrangiaan. Welk zijn de behouden grootheden?

Deel Van Proeyen

Time dependent constraints in D'Alembert
- Bekijk een coordinatentransformatie x = x(q,t). Toon aan dat de bewegingsvergelijkingen invariant zijn voor een dergelijke transformatie, vanuit het principe van D'Alembert.
- Bekijk nu constraints f(x(q,t),t) = 0. We kunnen deze implementeren door aan de Lagrangiaan een term toe te voegen: $L^{'} (x, λ) = L (x) + λ f (x, t)$ . Toon aan dat de Euler Lagrange vergelijking voor $λ$ de constraint impliceert.
- De bewegingsvergelijking voor x gaat wijzigen. Toon aan dat deze verandering niet bijdraagt aan de termen in het bewijs uit puntje 1.
Lagrange brackets Bekijk een coÃ¶rdinatentransformatie, zodat de coordinaten {x} gegeven zijn in functie van {u}. We definiÃ«ren de Lagrange brackets als volgt {uj,ui}=−∂xk∂uiJkl∂xl∂uj.
- Toon aan dat de Lagrange brackets de getransponeerde van de inverse van de Poisson brackets zijn. Doe dit door aan te tonen dat PL = 1 (eenheidsmatrix) met $L^{i j} = {u_{j}, u_{i}}$ en $P_{i j} = [u_{i}, u_{j}]$ (de gebruikelijke Poisson haken dus).
- Bereken de canonische Lagrange gebrackets ( ${q^{a}, p_{a}}$ en dergelijke) en toon aan dat ze gelijk zijn aan de canonische Poisson brackets.
- Bekijk in de faseruimte van minimale dimensie f = 5q+p en g = 2p. Bereken de Lagrange en Poisson brackets van deze twee grootheden.
- Toon aan dat een inverteerbare transformatie canonisch is als en slechts als ze de canonische Lagrange brackets behoudt.

Analytical Mechanics: verschil tussen versies

Huidige versie van 18 jan 2024 09:34

Inhoud

Samenvattingen

General Information

Exams

Academic year 2023-2024

Academic year 2020-2021

25 January 2021

Academic year 2016-2017

Academic year 2015-2016

Academic year 2013-2014

23 januari 2014

Academiejaar 2011-2012

26 januari 2012 (VM)

26 januari 2012 (NM)

Academiejaar 2008-2009

21 januari 2009

Academiejaar 2007-2008

Januari 2008

Navigatiemenu

@@ Regel 1: / Regel 1: @@
-=Algemeen=
+=Samenvattingen=
+[[Analytische Mechanica/Samenvattingen| Klik hier om de samenvattingen te bekijken]]
-Dit vak wordt door prof. Maes en prof. Van Proeyen gegeven aan de master fysica en sterrenkunde. Het deel van prof. Maes bestaat vooral uit een herhaling en uitdieping van de resultaten uit klassieke mechanica. Je woordenschat" fysica-Frans" gaat er ook enorm op vooruit gaan: de cursus van het deel van prof. Maes komt uit Louvain la Neuve en is dus in het Frans. Het deel van Van Proeyen behandelt de mechanica op een veel meetkundigere manier.
+=General Information=
-Ook het examen bestaat uit 2 delen die beide op evenveel punten staan. Het examen is zeker niet ondoenbaar, al moet je in het deel van prof. Van Proeyen wel genoeg tijd stoppen om de theorie degelijk te begrijpen. Prof. Maes geeft gedurende het jaar wel eens een paar mogelijke vragen tijdens zijn les, dit jaar werd er daar een van gevraagd. Deze vragen al eens uitwerken kan dus wel helpen.
+The course is taught by professor Christian Maes and professor Wojciech De Roeck. Although the course overview mentions a lot of symplectic geometry, this isn't really taught in this course.
-=Examens=
+The biggest part is the part of professor Maes. Most of this is repetition as well as deepening of knowledge from the bachelor course in classical mechanics. A part which isn't covered in previous courses is about the Hamilton-Jacobi formalism. Professor the Roeck's part concerns perturbation theory and integrability of Hamiltonian systems, more specifically the ideas of KAM theory.
+Sometimes, professor Maes gives a few possible questions during class, which also really get asked during the exam. Hence it is a good idea to work out these questions beforehand.
+The second part has previously been taught by professor Van Proeyen and professor Van Riet.
+=Exams=
+There is a picture on Toledo of a blackboard on which a summary of the lectures is given, with possible exam questions or relevant parts highlighted. The picture is from May 2018, but may still be relevant: [[Media:anmech_exam_questions.jpg |here is the picture]]
+==Academic year 2023-2024==
+'''Canonical Transformation'''
+- Show that a general coordinate transformation is a special kind of canonical transformation
+- Find the transformation formula for the momenta <math> p_x(\lambda), p_y(\lambda), p_z(\lambda) </math>, for a rotation around the z-axis with angle <math> \lambda </math>.
+- Find the conserved quantity corresponding with this transformation using ONLY the transformation of the momenta.
+'''Constants of motion'''
+Find as many constants of motion for the following Hamiltonian:
+<math> H= p_1^2 a + p_2^2 b + V(f(q_1,q_2)) </math>
+<math> f(q_1,q_2)=q_1^2/a +q_2^2/b</math>
+Do they only occur for special values of a and b?
+'''Action-Angle variables'''
+Find the frequency of the following system:
+<math> H= p^2/2m + V_0 |q| </math>
+And show that it has units of <math> s^{-1} </math>
+'''Flow'''
+Find the fixed point solution of
+<math>\dot{x}=\sqrt{x} </math>
+Find all solutions with x(0)=0, are there multiple, why?
+==Academic year 2020-2021==
+===25 January 2021===
+It was announced this year that there would be no questions on the exam about the part of professor De Roeck. The exam was written, open book and lasted approximately 3 hours.
+'''Explain'''
+Comment on the following statements:
+- A force being conservative depends on the space (in Newtonian mechanics).
+- ...
+- The map <math> x \mapsto 3 x (1-x)</math> is chaotic.
+- The Hamiltonian is the energy of the system.
+'''Young'''
+Prove the Young inequality: for every <math>x,y>0</math> and for every <math>\alpha,\beta>0</math> such that <math> {1 \over \alpha}+{1\over\beta} = 1</math>,
+<math>xy \leq {x^\alpha \over \alpha} + {y^\beta \over \beta}</math>.
+'''Action'''
+Consider the sytem with Lagrangian <math> L = m \dot{q}^2/2 - \kappa q^2/2 </math>. Consider <math>S</math> as a function of the inital time and postion <math> t_1, q_1</math> and the final time and position <math> t_2,q_2 </math>. Show that <math> {\partial S \over \partial q_2} = p_2 </math>.
+'''Liouville'''
+You are given the following
+<math> \dot{x} = \gamma x - a y, \dot{y} = -\gamma y - a x </math>
+Write down the Liouville equation and solve it.
+Is the phase space volume contracting/expanding? When is the evolution Hamiltonian?
+'''Error'''
+Find the error in the following reasoning.
+Suppose a system has a Lagrangian <math> L = {1 \over 2} G_{ab}(q) \dot{q}^a \dot{q}^b </math>. The potential is zero, hence the Hamiltonian is equal to the Lagrangian. From Hamilton's equations we have <math>\dot{p_a} = - \partial_a H</math>.
+Hence <math>\dot{p}_a = \partial_a H = - \partial_a \left({1 \over 2} G_{bc}(q) \dot{q}^b \dot{q}^c \right) =  -{1 \over 2} \partial_a G_{bc}(q) \dot{q}^b \dot{q}^c </math>.
+On the other hand, from Lagrange's equations we have that
+<math>\dot{p}_a = {d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{q}^a} = \partial_a L = {1 \over 2} \partial_a G_{bc}(q) \dot{q}^b \dot{q}^c</math>.
+'''Canonical transformation'''
+Is the transformation <math> Q = qt, P = pt </math> canonical? Why (not)?
+'''Prove'''
+Prove that the matrix <math>J</math>$ has determinant one. Prove that the Shannon entropy <math>- \int dx \rho_t(x) \log(\rho_t(x))</math> is constant in time (where <math>x=(q,p)</math>).
+'''Perturb'''
+Calculate the period of the system with potential <math> V(x)=x^2+  \alpha x^4 </math> up to first order in alpha.
+==Academic year 2016-2017==
+[[Media:anmech25aug2017.pdf |Exam 25 august 2017]]
+[[Media:anmech12june2017.pdf |Exam 12 june 2017]]
+==Academic year 2015-2016==
+[[Media:anmech1sep2016.pdf |Exam 1 september 2016]]
+[[Media:anmech6june2016.pdf |Exam 6 june 2016]]
+==Academic year 2013-2014==
+===23 januari 2014===
+'''Deel Maes'''
+[[Media:Anmech23jan2014Maes.pdf |Exam 23 January 2014 - part Maes]]
+'''Deel Van Riet'''
+[[Media:Examen_Analytisch_Mach_Van_Riet.pdf |Examen 23 januari 2014 - deel Van Riet]]
+==Academiejaar 2011-2012==
+===26 januari 2012 (VM)===
+'''Deel Maes'''
-==26 januari 2012==
-===Maes===
 Geen examenvragen.
-===Van Proeyen===
-* Gegeven is de lagrangiaan <math>L = \frac{1}{2}e^{-at}(\dot{q}^2 - k^2q^2)</math>
-** Stel de bewegingsvergelijkingen op. Herken je deze?
-** Wat is de fysische betekenis van de parameter <math>a</math>?
-** Wat is de Hamiltoniaan?
-** Merk op dat we de Hamiltoniaan kunnen vereenvoudigen door een canonische transformatie met <math>\tilde{q} = e^{-at/2}q</math> en <math>\tilde{p} = ???</math> (vul de vraagtekens in). Van welke variabelen kan de generenende functie afhangen? Geef zo'n genererende functie. Wat voor type canonische transformatie is dit?
-** Vind de nieuwe Hamiltoniaan. Om zeker te zijn dat dit nog steeds hetzelfde systeem beschrijft, kan je controleren of de bewegingsvergelijkingen voor deze nieuwe Hamiltoniaan hetzelfde zijn als degene die je vond in het eerste puntje van deze vraag.
-* In de cursus definieerden we de Poissonhaak via de matrix <math>I^{ij}</math> als inverse van de symplectische matrix <math>J^{ij}</math> op de volgende manier: <math>[f,g] = ??? I^{ij}</math> (vul in). We zullen de link met <math>J^{ij}</math> nu laten vallen en arbitraire matrices <math>I^{ij}(x)</math> bekijken die mogelijk afhankelijk zijn van het punt <math>x</math> in de faseruimte.
-** Wat zijn de voorwaarden op <math>I^{ij}(x)</math> opdat onderstaande eigenschappen nog zouden gelden? Welke eigenschappen zijn triviaal voldaan? Herinner u dat deze constraints moeten gelden voor alle functies f en g. In uw antwoord mag dus geen verwijzing meer staan naar de functies f,g,h. Schrijf de laatste constraint uit in de vorm <math>X^{[ijk]} = 0</math>, waarbij de haakjes duiden op antisymmetriseren, ie <math>X^{[ijk]} = X^{ijk} - X^{ikj} + X^{kij} - X^{kji} + X^{jki} - X^{jik}</math>. Vind <math>X^{ijk}</math>.
-*** [f,g] = -[g,f]
-*** [f,kg] = k[f,g] (met k een constante)
-*** [f,g + h] = [f,g] + [f,h]
-*** [f,gh] = g[f,h] + [f,g]h
-*** [f,[g,h]] + [h,[f,g]] + [g,[h,f]] = 0
+'''Deel Van Proeyen'''
+[[Media:Examen_analytische_26jan2012.pdf|Examen 26 januari 2012 (VM) - deel Van Proeyen]]
+===26 januari 2012 (NM)===
+'''Deel Maes'''
-==21 januari 2009==
+We moesten hiervoor gewoon 10 oefeningen maken die hij de laatste les had gegeven. Tijdens het mondeling besprak hij dan een paar van die vragen en stelde hij bijvragen.
-===Maes===
-* gegeven is de Hamiltoniaan <math> H = \frac{p^2}{2m} + A(q)p+B(q)</math>
-** bereken <math> \dot{q} </math>
-** bereken de Lagrangiaan
-* De Lagrangiaan wordt in parabolische coÃƒÂ¶rdinaten gegeven door <math>L=\frac{m}{2}(\eta^2+\xi^2)(\dot{\eta}^2+\dot{\xi}^2)+\frac{m}{2}\eta^2\xi^2\dot{\varphi}^2</math>. Zoek en vind de Hamiltoniaan in functie van de geconjugeerde momenta <math>p_\eta</math> , <math>p_\xi </math> en <math>p_\varphi</math>.
-* Beschouw de 1-dimensionale beweging in een potentiaal <math>V(x)= -\frac{kx^2}{2}+\frac{kx^4}{4a^2}</math> met <math>a\in\mathbb{R}</math>.
-** Geef het faseportret
-** Toon aan dat de afgeleide naar de energie van de integraal <math>\oint pdx</math> gelijk is aan aan de periode
-===Van Proeyen===
-nog aan te vullen...
-==Examen januari 2008==
-===Deel prof. Maes===
-* 2 functies in 3d waren gegeven en je moest onderzoeken of ze afleidbaar waren van een potentiaal
-* Noteer met S de oppervlakte gevormd door een gesloten kromme in de faseruimte. Zoek een verband tussen <math> \frac{dS}{dE}</math> en de periode van de beweging. Doe dit eerst voor de harmonische oscillator.
-* Is de Lagrangiaan uniek? Bekijk een transformatie L naar L + f(t). Wanneer laat deze de fysica invariant? Wat bedoel je hier juist mee? En tot wat leiden coordinatietransformaties?
-* Een punt met massa m2 hangt via een star touw van lengte L vast aan een punt met masse m1. Het punt kan op een horizontale as bewegen en hangt met een veer met veerconstante K vast. Bereken de Lagrangiaan. Welk zijn de behouden grootheden?
-=== Deel prof. Van Proeyen===
-'''Time dependent constraints in D'Alembert'''
-* Bekijk een coordinatentransformatie x = x(q,t). Toon aan dat de bewegingsvergelijkingen invariant zijn voor een dergelijke transformatie, vanuit het principe van D'Alembert.
-* Bekijk nu constraints f(x(q,t),t) = 0. We kunnen deze implementeren door aan de Lagrangiaan een term toe te voegen: <math> L'(x,\lambda) = L(x) + \lambda f(x,t)</math>. Toon aan dat de Euler Lagrange vergelijking voor <math> \lambda </math>  de constraint impliceert.
-* De bewegingsvergelijking voor x gaat wijzigen. Toon aan dat deze verandering niet bijdraagt aan de termen in het bewijs uit puntje 1.
-'''Lagrange brackets'''
+'''Deel Van Proeyen'''
+# Neem als ruimte de sfeer in twee dimensies <math>S^2</math>.
+#* Wat is hier de rakende ruimte <math> T_xS^2 </math> van?
+#* Definieer de symplectische structuur hier nu op als volgt: zei <math>\vec{v}</math> en <math>\vec{w}</math> twee vectoren uit de rakende ruimte, <math>J(\vec{v},\vec{w})= \vec{x} \cdot \vec{v} x\vec{w}</math>. Toon aan dat dit een symplectische structuur is( hint: je moet niet rekenen aan dJ).
+#* Kies nu een basis en geef <math>J_{ij}</math>
+#* Wat is de groep van canonische transformaties hierop.
+#* Geef zo een een-parameter voorstelling van een canonische transformatie
+# Uw collega's deze voormiddag moesten aantonen dat de 5 eigenschappen van een Poisson haakje voldaan waren indien:
+#** <math>I^{ij}=-I^{ji }</math>
+#** De oplossing van de oefening hieronder (de oplossing was gegeven, maar die ben ik vergeten)
+#* Toon nu aan dat die eigenschappen voldaan zijn als J een symplectische structuur is.
+#* We hebben ook de eigenschap <math>\left[ X_f,X_h \right]=-X_{\left[ f,h \right]}</math> Toon dit aan door gebruik te maken van de twee bovenstaande eigenschappen (dus niet gebruiken dat J een symplectische structuur is). ''Hint: Vernoem de variabelen goed, en gebruik veel symmetrieÃ«n.''
-Bekijk een coÃƒÂ¶rdinatentransformatie, zodat de coordinaten {x} gegeven zijn in functie van {u}. We definiÃƒÂ«ren de Lagrange brackets als volgt
+==Academiejaar 2008-2009==
-<math> \{u_j,u_i\} = -\frac{\partial x^k}{\partial u_i} J_{kl}\frac{\partial x^l}{\partial u_j}</math>.
+===21 januari 2009===
-*Toon aan dat de Lagrange brackets de getransponeerde van de inverse van de Poisson brackets zijn. Doe dit door aan te tonen dat PL = 1 (eenheidsmatrix) met <math> L^{ij} = \{u_j,u_i\}</math> en <math> P_{ij} = [u_i,u_j]</math> (de gebruikelijke Poisson haken dus).
+'''Deel Maes'''
-* Bereken de canonische Lagrange gebrackets (<math> \{q^a,p_a\} </math> en dergelijke) en toon aan dat ze gelijk zijn aan de canonische Poisson brackets.
+# Gegeven is de Hamiltoniaan <math> H = \frac{p^2}{2m} + A(q)p+B(q)</math>
-* Bekijk in de faseruimte van minimale dimensie f = 5q+p en g = 2p. Bereken de Lagrange en Poisson brackets van deze twee grootheden.
+#* bereken <math> \dot{q} </math>
-* Toon aan dat een inverteerbare transformatie canonisch is als en slechts als ze de canonische Lagrange brackets behoudt.
+#* bereken de Lagrangiaan
+# De Lagrangiaan wordt in parabolische coÃ¶rdinaten gegeven door <math>L=\frac{m}{2}(\eta^2+\xi^2)(\dot{\eta}^2+\dot{\xi}^2)+\frac{m}{2}\eta^2\xi^2\dot{\varphi}^2</math>. Zoek en vind de Hamiltoniaan in functie van de geconjugeerde momenta <math>p_\eta</math> , <math>p_\xi </math> en <math>p_\varphi</math>.
+# Beschouw de eendimensionale beweging in een potentiaal <math>V(x)= -\frac{kx^2}{2}+\frac{kx^4}{4a^2}</math> met <math>a\in\mathbb{R}</math>.
+#* Geef het faseportret
+#* Toon aan dat de afgeleide naar de energie van de integraal <math>\oint pdx</math> gelijk is aan aan de periode
+'''Deel Van Proeyen'''
+Kwijt.
+==Academiejaar 2007-2008==
+===Januari 2008===
+'''Deel Maes'''
+# 2 functies in 3d waren gegeven en je moest onderzoeken of ze afleidbaar waren van een potentiaal
+# Noteer met S de oppervlakte gevormd door een gesloten kromme in de faseruimte. Zoek een verband tussen <math> \frac{dS}{dE}</math> en de periode van de beweging. Doe dit eerst voor de harmonische oscillator.
+# Is de Lagrangiaan uniek? Bekijk een transformatie L naar L + f(t). Wanneer laat deze de fysica invariant? Wat bedoel je hier juist mee? En tot wat leiden coÃ¶rdinatentransformaties?
+# Een punt met massa <math>m_{2}</math> hangt via een star touw van lengte <math>L</math> vast aan een punt met masse <math>m_{1}</math>. Het punt kan op een horizontale as bewegen en hangt met een veer met veerconstante <math>K</math> vast. Bereken de Lagrangiaan. Welk zijn de behouden grootheden?
+'''Deel Van Proeyen'''
+# '''Time dependent constraints in D'Alembert'''
+#* Bekijk een coordinatentransformatie x = x(q,t). Toon aan dat de bewegingsvergelijkingen invariant zijn voor een dergelijke transformatie, vanuit het principe van D'Alembert.
+#* Bekijk nu constraints f(x(q,t),t) = 0. We kunnen deze implementeren door aan de Lagrangiaan een term toe te voegen: <math> L'(x,\lambda) = L(x) + \lambda f(x,t)</math>. Toon aan dat de Euler Lagrange vergelijking voor <math> \lambda </math>  de constraint impliceert.
+#* De bewegingsvergelijking voor x gaat wijzigen. Toon aan dat deze verandering niet bijdraagt aan de termen in het bewijs uit puntje 1.
+# '''Lagrange brackets''' Bekijk een coÃ¶rdinatentransformatie, zodat de coordinaten {x} gegeven zijn in functie van {u}. We definiÃ«ren de Lagrange brackets als volgt <math> \{u_j,u_i\} = -\frac{\partial x^k}{\partial u_i} J_{kl}\frac{\partial x^l}{\partial u_j}</math>.
+#* Toon aan dat de Lagrange brackets de getransponeerde van de inverse van de Poisson brackets zijn. Doe dit door aan te tonen dat PL = 1 (eenheidsmatrix) met <math> L^{ij} = \{u_j,u_i\}</math> en <math> P_{ij} = [u_i,u_j]</math> (de gebruikelijke Poisson haken dus).
+#* Bereken de canonische Lagrange gebrackets (<math> \{q^a,p_a\} </math> en dergelijke) en toon aan dat ze gelijk zijn aan de canonische Poisson brackets.
+#* Bekijk in de faseruimte van minimale dimensie f = 5q+p en g = 2p. Bereken de Lagrange en Poisson brackets van deze twee grootheden.
+#* Toon aan dat een inverteerbare transformatie canonisch is als en slechts als ze de canonische Lagrange brackets behoudt.
 [[Categorie:mf]]
 [[Categorie:Ms]]

Analytical Mechanics: verschil tussen versies

Huidige versie van 18 jan 2024 09:34

Samenvattingen

General Information

Exams

Academic year 2023-2024

Academic year 2020-2021

25 January 2021

Academic year 2016-2017

Academic year 2015-2016

Academic year 2013-2014

23 januari 2014

Academiejaar 2011-2012

26 januari 2012 (VM)

26 januari 2012 (NM)

Academiejaar 2008-2009

21 januari 2009

Academiejaar 2007-2008

Januari 2008

Navigatiemenu

Zoeken