Bewijzen en Redeneren

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Prof. Arno Kuijlaars

Bewijzen en Redeneren is een wiskunde vak in het eerste semester van de eerste Bachelor Wiskunde. De nadruk ligt vooral op het leren correct opstellen van een bewijs maar ook wordt hier een abstracte manier van denken aangeleerd.

Wat het examen betreft, lijkt er een vast stramien te zijn. Vraag 1 bestaat vaak uit verschillende onderdelen, die elk moeten testen of je enkele begrippen uit de cursus beheerst (overaftelbaar, equivalentierelatie, machtsverzameling, ...). Vragen 2 en 3 zijn dan 'situatievragen': er is bijvoorbeeld een relatie gegeven en jij moet dan bepaalde eigenschappen gaan onderzoeken. Vaak is er ook een vraag over functies bij waarbij het vaak om een variatie gaat van $f(f^{-1}(B))\subset B$. Vraag 4 is tenslotte een $\epsilon -\delta$-bewijs van continuïteit van een bepaalde functie.

Academiejaar 2011-2012

TTT 10 november 2011

Zonder oplossingen

Met oplossingen

Academiejaar 2010-2011

TTT 12 november 2010

Zonder oplossingen

Met oplossingen

Academiejaar 2009-2010

TTT 2009-2010 (6 november 2009)

Media:TTT_B&R_2009-2010.pdf

Media:TTT_B&R_2009-2010_opl.pdf

Voorbeeld examenvragen: Bestand:Mogelijke examenvragen bewijzen en redeneren.pdf

Examen 2009-2010

Media:Examen_augustus_2010.pdf

Vanaf dit academiejaar is "Bewijzen en Redeneren" verzwaard. Het vak telt nu 5 studiepunten ipv 3. Examens van vorige jaren dekken dus de volledige leerstof niet meer.

Academiejaar 2008-2009

Januari 2009

PDF van het examen: Media:ExamenJanuariB&R2008.pdf

Elke vraag staat op 10 punten.

1. (a) Zoals bekend is P(X) de machtsverzameling van X.
   • Een functie $f:P(X)\setminus \{\mathrm{\varnothing }\}\to X$ noemen we een keuzefunctie als
   • $\mathrm{\forall }A\in P(X)\setminus \{\mathrm{\varnothing }\}:f(A)\in A$
   • Als |X| = n, hoeveel elementen heeft $P(X)/\{\mathrm{\varnothing }\}$?
   • Hoeveel keuzefuncties zijn er als |X| = 3?
   • (b) Schrijf de bewering dat $f:X\to Y$ niet injectief is met behulp van kwantoren zonder de negatie $\mathrm{\neg }$ te gebruiken. U mag wel $\ne$ gebruiken.
   • (c) Is de volgende bewering over over een willekeurige functie $f:X\to Y$ waar of niet? Bewijs.
   • $[\mathrm{\forall }x\in X:\mathrm{\exists }B\in P(Y):x\notin f^{-1}(B)]\Rightarrow [\mathrm{\exists }B\in P(Y):\mathrm{\forall }x\in X:x\notin f^{-1}(B)$
   • (d) Zijn de volgende verzamelingen aftelbaar of overaftelbaar? Licht uw antwoord toe. (Een formeel bewijs wordt niet gevraagd.)
   • De verzameling $\mathbb{\mathbb{Q}}$ van de rationale getallen.
   • De verzameling van alle deelverzamelingen van $\mathbb{\mathbb{N}}$ met ten hoogste 5 elementen.
   • De verzameling van alle eindige deelverzamelingen van $\mathbb{\mathbb{N}}$
2. Zij $f:X\to Y$ een functie.
   • (a) Bewijs dat $f(f^{-1}(B))\subset B$ geldt voor alle $B\in P(Y)$
   • (b) Laat door middel van een tegenvoorbeeld zien dat de gelijkheid in (a) niet hoeft te gelden.
   • (c) Bewijs dat $\mathrm{\forall }B\in P(Y):f(f^{-1}(B))=B$ als en slechts als f surjectief is.
3. Zij X een verzameling. Zij R de relatie op P(X) gegeven door $(A,B)\in R$ als en slechts als er een functie $f:X\to X$ is met $f(A)=B$.
   • (a) Is R reflexief, symmetrisch of transitief? Zo ja, geef een bewijs. Zo nee, geef een tegenvoorbeeld.
   • (b) Bewijs dat R een equivalentierelatie is als en slechts als $|X|\le 1$.
   • (c) Geef de equivalentieklassen in het geval van $X=\mathrm{\varnothing }$ en in het geval dat X = {0}.
4. Zij $f:\mathbb{(}R)/\{a\}\to \mathbb{(}R)$ gegeven door
   • $f(x)=\frac{x+a}{x-a}$
   • met $a\in {\mathbb{ℝ}}_0$ een gegeven reëel getal verschillend van nul. Bewijs met de $ϵ-\delta$ definitie dat f continu is in x*=0.

Tussentijdse Toets (21 November 2008)

PDF van de Tussentijdse toets: Media:TussentijdseToetsB&R2008.pdf

Academiejaar 2007-2008

September 2008

1. • (a) Geef alle elementen van P(P(X)) als $X=\mathrm{\varnothing }$ en als $X=\{0\}$
   • (b) Zijn volgende verzamelingen aftelbaar of overaftelbaar? Licht kort toe (een bewijs is niet gevraagd).
     • $\mathbb{\mathbb{Q}}$
     • $\mathbb{ℝ}/\mathbb{\mathbb{Q}}$
     • de verzameling van alle oneindeige rijen met nullen en enen : 001101011101....
   • (c) Is de volgende uitspraak waar of niet? Bewijs. $[\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{\mathbb{N}}:\mathrm{\exists }ϵ>0:\mathrm{\forall }n>=n_0:\mathrm{\forall }L\in \mathbb{ℝ}:|x_n-L|<ϵ]\Rightarrow x_n$ convergent.
2. Zij $f:X\to Y$ een functie.
   • (a) Bewijs $f(f^{-1}(B))\subset B$ voor alle $B\in P(Y)$
   • (b) Toon aan dat gelijkheid in (a) niet geldt door middel van een tegenvoorbeeld.
   • (c) Bewijs: $f(f^{-1}(B))=B$ als en slecht als f surjectief is.
3. Zij X en Y verzamelingen. Met Fun(X,Y) noteren we de verzameling van alle functies van X naar Y. Zij R de relatie op Fun(X,Y) gedefinieerd door $(f,g)\in R$ als en slechts als er een bijectie $\sigma :X\to X$ bestaat met $fo\sigma =g$
   • (a) Bewijs dat R een equivalentierelatie is op Fun(X,Y).
   • (b) Hoeveel equivalentieklassen als |X| = 4 en |Y| = 3? Geef één element van elke equivalentieklasse.
4. Zij $f:\mathbb{ℝ}\setminus \{-a\}\to \mathbb{ℝ}$ gegeven door het functievoorschrift $f(x)=\frac{x}{a+x}$ met $a\in \mathbb{ℝ}\setminus \{0\}$ . Bewijs met de $ϵ-\delta$ definitie dat f continu is in x*=0.

Januari 2008

Examen: Media:Examen2008BewRed.pdf

Tussentijdse toets (16 november 2007)

1. • (a) Zoals bekend is $P(X)$ de machtsverzameling van $X$. Geef alle elementen van $P(P(X))$ als $X=\mathrm{\varnothing }$ en als $X=\left\{0\right\}$.
   • (b) Is de volgende bewering over een willekeurige verzameling $X$ $(X\ne \mathrm{\varnothing })\iff [(\mathrm{\forall }x\in X:\mathrm{\forall }A\in P(X):x\in A)\Rightarrow (\mathrm{\exists }x\in X:\mathrm{\forall }A\in P(X):x\in A)]$ waar of niet? Geef een bewijs indien ze waar is, en geef een tegenvoorbeeld als ze niet waar is.
2. • Zij $X$ een verzameling en $A,B\in P(X)$.
   • Bewijs dat $(X\times X)\setminus (A\times B)=((X\setminus A)\times X)\cup (X\times (X\setminus B))$
3. • Beschouw de volgende drie relaties op $R$.
   • $R1=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2\mid xy>0\}$
   • $R2=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2\mid (x-y)(x+y)=0\}$
   • $R3=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2\mid x\ge y\}$
   • Welke relaties zijn reflexief, welke symmetrisch, welke transitief? Welke relaties zijn orderelaties, welke equivalentierelaties? Licht uw antwoord toe. Een volledig uitgewerkt bewijs wordt niet gevraagd.

Academiejaar 2006-2007

Augustus 2007

Ook nu elke vraag op 10 punten.

1. • Gegeven 3 relaties R:X->X met X={1,2,3,4}:
   • R1 = { (2,2), (3,3), (2,3) , (3,2), (2,4) , (4,3) }
   • R2 = {(1,1), (2,2) , (3,3) , (4,4) , (1,2) , (2,1)}
   • R3 = {(1,2), (2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3)}
   • a) Welke zijn reflexief, transitief of symmetrisch?
   • b) Hoeveel koppel(s) moet je toevoegen aan R1 om er een equivalentierelatie van te maken?
   • c) Is de volgende stelling waar of niet waar? Bewijs $(\mathrm{\forall }x\in X:\mathrm{\exists }y\in X:(x,y)\in R_1\vee (y,x)\in R_3)\iff (\mathrm{\exists }x\in X:\mathrm{\forall }y\in X:(x,y)\in R_2)$
2. • Zij X een verzameling en $A,B\in P(X)$. Bewijs dat (X x X) \ (A x B) = ((X \ A) x X) U (X x (X \ B)).
3. • Zij f:X -> X een functie (mogelijks van de reele getallen, ik weet het niet meer). Zij A en B elementen van P(X).
   • a) Bewijs dat $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$
   • b) Toon aan met een tegenvoorbeeld dat de gelijkheid niet altijd waar is.
   • c) Toon aan dat $\mathrm{\forall }A\in P(X):\mathrm{\forall }B\in P(X):f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ als en slechts als f een injectieve functie is.
4. • Toon aan met de epsilon-delta definitie dat de functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}:x\mapsto \frac{1}{x^2+a^2}$, met $a\in {\mathbb{ℝ}}_0^{+}$ een vast getal, continu is in x*=0.

Januari 2007

Bij dit examen stond elke vraag op 10 punten.

1. • Zoals bekend is P(X) de machtsverzameling van X.
   • a) Geef alle elementen van P(P(X)) als X={0} en als X=$\mathrm{\varnothing }$
   • b) Zij X een verzameling met |X|=n. Tel het aantal funties f: X$\to$P(X) dat voldoet aan $\mathrm{\forall }x\in X:x\in f(X)$ en licht uw antwoord toe (N.B. een formeel bewijs wordt niet gevraagd.)
   • c) Is de volgende bewering over een willekeurige verzameling X waar of niet? $(\mathrm{\exists }x\in X:\mathrm{\forall }A\in P(X):\mathrm{\neg }(x\in A))\Rightarrow (\mathrm{\forall }A\in P(X):\mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }x\in X:x\in A))$. Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
2. • Zij X een verzameling. Met Fun(X,X) noteren we de verzameling van alle functies f: X$\to$X. Zij R de relatie op Fun(X,X) door (f,g)$\in R\iff \mathrm{\exists }$ een bijectieve $\sigma :\sigma of=g$
   • a) Bewijs dat R een equivalentierelatie op Fun(X,X) is.
   • b) Hoeveel equivalentieklassen van R zijn er als |X|=3? Geef van elke equivalentieklasse 1 element.
3. • Zij f:X $\to$X een functie
   • a) bewijs dat $\mathrm{\forall }B\in P(Y):f(f^{-1}(B))\subset B$
   • b) De gelijkheid in a) is niet altijd waar, geef hiervoor een tegenvoorbeeld.
   • c) Bewijs: $(\mathrm{\forall }B\in P(Y):f(f^{-1}(B))=B)\iff$ f is surjectief
4. • Zij $f:\mathbb{ℝ}a\to \mathbb{ℝ}$ gegeven door f(x)=$\frac{1}{(x-a{)}^2}$ met a>0 een vast strikt positief reëel getal. Bewijs met de $ϵ-\delta$ definitie dat f continu is in x*=0.