Analyse I

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Didactisch Team

Academiejaar	Professor(en)	Assistent(en)
2024-2025	Gábor Szabó	Milan Donvil, Max van Horssen, Thomas Wolfs, Skylar Deslypere
<2023	Johan Quaegebeur	/

Algemeen

Het vak Analyse I was van 2007-2008 tot 2022-2023 in de handen van professor Johan Quaegebeur. Nu wordt het vak gegeven door professor Gábor Szabó. Gábor maakt nog gebruik van de cursus van Johan, waar hij graag eens grappen maakte (vooral als voetnoten in zijn cursus), af en toe wat minder vrouwvriendelijk maar nooit slecht bedoeld.

De lessen verlopen vrij standaard. Gábor maakt geen gebruik van powerpoints en de lessen zijn ook niet opgenomen dus aanwezigheid in de hoorcolleges is aangeraden. Er wordt wel elke week verwacht dat je de oefenzitting van de dag voorbereid (die gaat over leerstof van de vorige week) zodat de assisten je kunnen begeliden bij de oefeningen waar je bent vastgelopen. In de namiddag is er ook een begeleide sessie, waar je verder ingaat op de leerstof van de dag zelf.

Het vak verloopte als volgt toen Johan het nog gaf:

De lessen verlopen niet op de klassieke manier zoals bij de andere vakken. Hier moet je voor elke les een deel uit de cursus (thuis of in een OASE lokaal) studeren en een aantal oefeningen voorbereiden. De les wordt dan gebruikt om op uw vragen te antwoorden en uitleg te geven over zaken die je niet begrepen hebt. Maak zeker deze voorbereidingen, ze zijn interessant om de materie te begrijpen. Hij zal je ook wel eens uit de les sturen als je ze niet gemaakt hebt. Het tweede deel van de les zal worden besteed aan een preview, een soort "teaser" van wat er in de volgende les behandeld zal worden.

Een goede raad voor dit vak:

Probeer ook de oefeningen die tussen de leerstof staan te maken wanneer je studeert, en probeer zoveel mogelijk bewijzen eerst zelf te zoeken. Dit kan soms wat werk zijn, maar het helpt veel om de leerstof te verwerken en beter te beheersen.

Informatie over het examen

Evaluatie verloop toen Johan het vak gaf:

Het examen was in het academiejaar 2008-2009 moeilijker dan de vragen die je hieronder kunt vinden. Je moet de leerstof dus iets beter beheersen dan onderstaande vragen aangeven.

De punten voor dit vak zijn verdeeld in drie verschillende evaluatie momenten. Twee tussentijdse schriftelijke toetsen tijdens het semester, op 2 en op 3 van de 20 punten, en het examen zelf in juni op 15 van de 20 punten. Voor het herexamen in september zijn er geen aparte tussentijdse evaluaties, het verloopt gewoon op dezelfde manier als in juni (dus mondeling), deze keer op de volledige 20 punten.

Het examen zelf is mondeling en open boek, maar laat je hierdoor niet vangen: zorg ervoor dat je de materie goed beheerst. Je hebt 4,5 uur de tijd, wat normaalgezien genoeg is (maar werk toch goed door). Vraag ook een hint als je iets echt niet vindt, dat is altijd beter dan niets kunnen vertellen. Een intuitieve redenering is ook al iets waard, maar natuurlijk minder dan een volledig bewijs.

Bijkomende informatie

Toen Johan het vak gaf waren de examens copyrighted, dit is echter niet meer het geval. Dit was is in de eerste plaats om de leerlingen zelf te beschermen, zoniet zouden de examens steeds moeilijker moeten worden. Veel vragen zijn namelijk inzichtsvragen; vragen waarbij je eerst even moet nadenken of de gestelde bewering nu juist of fout is (om ze dan te bewijzen of een tegenvoorbeeld te geven). Indien deze vragen (en eventueel oplossingen) al op voorhand bekend zouden zijn, valt dat inzichtsaspect weg. Er bestaan bovendien nu eenmaal niet oneindig veel zulke inzichtsvragen van eenzelfde niveau.

Oplossingen van een aantal oefeningen op metrische ruimten: metrische ruimte (oplossingen) (auteur: Arne Smeets) en nog een aantal extra oplossingen: oplossingen oefeningen analyse.

Proefexamens en voorbeeldexamen

Voorbeeldexamen

Proefexamen 2008-2009

Proefexamen 2009-2010

Proefexamen 2010-2011

Proefexamen 2011-2012

Proefexamen 2012-2013

Examens

Academiejaar 2024-2025

Examen 2024-25 met oplossingen, tex-bestand

Academiejaar 2023-2024

Examen 2023-2024 + oplossingen, tex-bestand

Herexamen 2023-2024

Academiejaar 2007-2008

9 juni 2008 (VM)

Examen 9 juni 2008 (VM)

9 juni 2008 (NM)

1. Leg uit wat wordt bedoeld met $+\mathrm{\infty }/L=-\mathrm{\infty }$ ($L<0$) in de context van limieten van reële functies. En geef een bewijs in een eindig ophopingspunt.
2. Bewijs dat in een open convex deel van $\mathbb{ℂ}$, een functie $f$ met $f^{\prime }(z)=0$ voor alle $z$, constant is.
3. Gegeven een rij $(x_n{)}_n$ in $\mathbb{ℂ}$ die als limiet nul heeft, bewijs dat deze rij een deelrij heeft zodat de reeks van deze deelrij absoluut convergeert.
4. Noteer met $C_0(\mathbb{ℝ})$ de verzameling van de continue functies $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ waarvoor de limieten op $+\mathrm{\infty }$ en $-\mathrm{\infty }$ bestaan en nul zijn. Noteer met $C_b(R)$ de verzameling van de continue begrensde functies van $\mathbb{ℝ}$ naar $\mathbb{ℝ}$. Toon aan dat $C_0(R)$ een deelverzameling is van $C_b(R)$. Toon aan dat $C_0(R)$ gesloten is.
5. Stel $A$ en $B$ compacte, disjuncte, niet-lege delen van een metrische ruimte. Noteer $d(A,B)=\inf \{d(a,b)|a\in A,b\in B\}$. Bewijs dat $d(A,B)>0$. Is dit ook waar als $A$ en $B$ gesloten maar niet compact zijn?

20 juni 2008 (VM)

Examen 20 juni 2008 (VM)

20 juni 2008 (NM)

Examen 20 juni 2008 (NM)

18 augustus 2008 (NM)

1. Men noemt een functie Lipschitz-continu op gesloten begrensd interval $I$ als er geldt: er bestaat een M zodat $|f(x)-f(y)|\le M\cdot |x-y|$ voor alle $x,y\in I$
   • Toon met een voorbeeld aan dat Lipschitz-continuïteit sterker is dan gewone continuiteit.
   • Als $f$ afleidbaar is en $f^{\prime }$ is continu, dan is $f$ Lipschitz-continu. Toon aan.
   • Geldt het omgekeerde ook? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
2. Bespreek en beargumenteer het asymptotisch gedrag van de rij die we definiëren als
   • kies $x_0\in \mathbb{ℝ}$ willekeurig,
   • definieer $x_{n+1}=\cos (x_n)$ recursief.
3. Zij $(X_1,d_1)$ en $(X_2,d_2)$ metrische ruimten en definieer $X=X_1\times X_2$ met $d_x((x_1,x_2),(x_1^{\prime },x_2^{\prime }))=d_1(x_1,x_1^{\prime })+d_2(x_2,x_2^{\prime })$ $(Y,d_y)$ met $f:X\to Y$ $(a_1,a_2)\in X$. Verder hebben we $f_1:X_1\to Y:x_1\mapsto f(x_1,a_2)$ en $f_2:X_2\to Y:x_2\mapsto f(a_1,x_2)$
   • Als $f$ continu in $(a_1,a_2)$, is dan $f_1$ en $f_2$ ook continu in respectievelijk $a_1$ en $a_2$?
   • Geldt het omgekeerde ook? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
4. We nemen de metriek $d(x,y)=\min \{\Vert x-y\Vert ,1\}$. Is ${\mathbb{ℝ}}^2$ volledig met deze metriek? Bewijs of vervolledig.

20 augustus 2008 (VM)

1. Beschouw een rij $(f_n{)}_n$ van functies van $\mathbb{ℝ}$ naar $\mathbb{ℝ}$ die puntsgewijs convergeert naar een functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$. Veronderstel dat de convergentie bovendien uniform is op ${\mathbb{ℝ}}_0$. Mag je besluiten dat de convergentie uniform is op gans $\mathbb{ℝ}$? Argumenteer!
2. Bestaat er een afleidbare functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ met f'(0) = 0 waarvoor een rij $(x_n{)}_n$ in $\mathbb{ℝ}$ bestaat zodat $x_n\to 0$ en $f^{\prime }(x_n)\to +\mathrm{\infty }$? Argumenteer!
3. Beschouw volgende verzameling F van functies: $F=\{f:[0,1]\to \mathbb{ℝ}|f\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u};\mathrm{\exists }\delta \in ]0,1],\mathrm{\forall }x\in [0,\delta ]:f(x)=0\}$. We beschouwen de supremmumtechniek $d_{\mathrm{\infty }}$ op F. Is $(F,d_{\mathrm{\infty }})$ volledig? Zo ja, bewijs; zo neen, wat is de vervollediging?
4. Beschouw metrische ruimten $(X,d_X)$ en $(Y,d_Y)$ en een continue functie $f:X\to Y$. We definiëren de grafiek G(f) van f als de volgende deelverzameling van X x Y: $G(f)=\{(x,f(x))|x\in X\}$. We maken van X x Y een metrische ruimte via de metriek d((x,y),(x',y')) = $d_X$(x,x') + $d_Y$(y,y').
   • Veronderstel dat O een open deel is van X x Y. Definieer de verzameling $A=\{x\in X|(x,f(x))\in O\}$. Toon aan dat A een open deel is van X.
   • Veronderstel nu dat X samenhangend is. Gebruik het vorige om aan te tonen dat G(f) een samenhangend deel van X x Y is.

Oudere examens - Professor Van Daele

Academiejaar 2006-2007

21 juni 2007

Examen 21 juni 2007 (opgave en bespreking)

24 augustus 2007

Examen 24 augustus 2007 (opgaven en bespreking)

Academiejaar 2005-2006

12 juni 2006

Examen 12 juni 2006 (opgaven en bespreking)

Academiejaar 2004-2005

13 juni 2005

1. Beschouw propositie 4.24 uit 'Metrische Ruimten' (E is de unie van twee aan twee disjuncte samenhangende verzamelingen). Neem $E\subset {\mathbb{ℝ}}^n$ met de gewone metriek. Veronderstel bovendien dat E open is. Bewijs dat dan ook alle samenhangende componenten van E open zijn. Aanwijzingen: 1. Is een open bol samenhangend in ${\mathbb{ℝ}}^n$?
2. In Definitie 5.1 en Definitie 5.13 uit 'Metrische ruimten' geven we de definitie van continuïteit en van gelijkmatige continuïteit. Bespreek deze begrippen en vooral het verschil, de gelijkenissen en het verband tussen beide.
3. Neem n = 1,2,3,... en definieer functies $h_n:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ door $h_n(x)=x^n$ indien x rationaal is en $h_n(x)=0$ indien x irrationaal is. Wat kan je dan allemaal vertellen over de continuïteit en de differentieerbaarheid van deze functies voor de verschillende waarden van n?
4. We beschouwen de kromme in ${\mathbb{ℝ}}^3$ bepaald door de vergelijkingen
   $x^2+y^2-z^2=0$
   $3x+y-5=0$
   Gebruik stelling 5.10 ('Afgeleiden II') om de punten op deze kromme te vinden die het dichtst bij de oorsprong liggen. Maak een tekening en bespreek het resultaat.
5. Formuleer en bewijs Lemma 4.4 uit 'Integratietheorie' nauwkeurig en bespreek het resultaat.
6. In Voorbeeld 5.4 ('Integratietheorie') hebben we een functie gedefinieerd. We weten dat ze niet continu is in $(0,0)$. Construeer een rij punten $(x_n,y_n{)}_n$ in het domein zodat $(x_n,y_n)\to (0,0)$ maar toch niet $f(x_n,y_n)\to 0$.
7. Gebruik de formule uit Propositie 4.5 ('Speciale functies') om aan te tonen dat $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$ voor elke x>0. Argumenteer nauwkeurig en volledig. Schrijf ook je bewijs netjes op.

22 augustus 2005

1. In het deeltje 'Metrische ruimten' hebben we Stelling 2.5 (vastepuntstelling). Is het resultaat nog juist als daarbij $\lambda =1$ toegelaten wordt? Bespreek.
2. Beschouw een willekeurige metrische ruimte (V,d) en een deelverzameling A van V. Toon nauwkeurig aan dat het inwendige van het complement $A^C$ van A gelijk is aan het complement van de sluiting $\bar{A}$ van A (cfr. Opgave 3.16 uit 'Metrische ruimten'). Illustreer het resultaat met een voorbeeld.
3. Definieer $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ door $f(x)=x\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ als $x\ne 0$ en f(0) = 0. Wat denk je over de volgende redenering (cfr. Opgave 5.19 uit 'Metrische ruimten'): 'Er geldt dat $f({\mathbb{ℝ}}^{+})=\mathbb{ℝ}$ en dus $f^{-1}(\mathbb{ℝ})={\mathbb{ℝ}}^{+}$. Dit geeft dan een open verzameling in $\mathbb{ℝ}$, namelijk $\mathbb{ℝ}$ zelf, zodat het inverse beeld van deze open verzameling onder f niet meer open is. Daarom is f niet continu.' Bespreek.
4. Definieer $f:{\mathbb{ℝ}}^p\to {\mathbb{ℝ}}^p$ door $f(x)=\lambda x+a$ waarbij a een willekeurig element is uit ${\mathbb{ℝ}}^p$ en $\lambda \in \mathbb{ℝ}$. Is dan f totaal afleidbaar, in welke punten en wat is de totale afgeleide?
5. Beschouw een gesloten en begrensd interval [a,b] in $\mathbb{ℝ}$ en een functie $f:[a,b]\to \mathbb{ℂ}$. We weten dat |f| Riemann integreerbaar is als f dat is. Geldt ook het omgekeerde?
6. Neem Toepassing 4.7.ii uit het deeltje 'Integratietheorie'. Werk dit argument meer in detail uit: Bewijs nauwkeurig dat de functie $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$, gedefinieerd door $f(x)=\exp (-x^2)$, oneigenlijk integreerbaar is.
7. In het deeltje 'Speciale functies' hebben we in Propositie 4.5 een formule die we echter niet bewezen hebben. We geven wel een argument. Waarom is dit 'argument' geen nauwkeurig argument en dus niet voldoende als bewijs? Wat is het probleem?

Academiejaar 2003-2004

4 juni 2004

Opmerking: deze vragen zijn niet meer allemaal relevant.

1. We hebben op twee verschillende manieren aangetoond dat $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ (zie "Speciale functies" en "Integratietheorie"). Bespreek beide methodes en vergelijk ze. Is er een verband tussen beide?
2. Bekijk Stelling 2.6 en Propositie 2.7 uit "Metrische ruimten en continuïteit". Bekijk ook de metriek op $\mathbb{ℝ}$, gedefinieerd in Voorbeelden 2.3.i. Wat is de vervollediging van deze metrische ruimte?
3. Beschouw een continue functie $f:[0,1]\to \mathbb{ℝ}$ en noteer $G=\{(x,f(x))|x\in [0,1]\}$. Toon aan dat G een gesloten en begrensde deelverzameling is van ${\mathbb{ℝ}}^2$.
4. Wat weet je allemaal over het probleem van het verwisselen van integraal en afgeleide?
5. Gebruik Opgave 4.10 (Integratietheorie) om na te gaan of de reeks $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}$ al of niet convergeert. Bespreek.
6. Beschouw een functie $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{ℝ}}^2$. Associeer daarmee een functie $g:\mathbb{ℂ}\to \mathbb{ℂ}$ door $g(x+iy)=f_1(x,y)+i{f}_2(x,y)$ waarbij $x,y\in \mathbb{ℝ}$ en $f_1$ en $f_2$ de componenten zijn van $f$. Wat kun je zeggen over het verband tussen differentieerbaarheid van $f$ en differentieerbaarheid van $g$?
7. In Opmerkingen 4.7.iii (Afgeleiden II) staat: "Wanneer we de formule ... afleiden volgt uit een goede toepassing van de kettingregel dat ... = 0". Leg dit nauwkeurig uit en laat blijken dat je de kettingregel correct kan toepassen.

21 januari 2002

Opmerking: deze vragen zijn niet meer allemaal relevant.

1. Definieer $A=\{\frac{1}{k^2+1}|k\in \mathbb{\mathbb{Z}}\}$. Stel dat $(x_n)$ een convergente rij is zodat $x_n\in A$ voor elke $n$. Wat weet je over de limiet?
2. Bespreek de relatie die er bestaat tussen de convergentie van een rij en de convergentie van een deelrij van die rij.
3. Propositie 5.5 uit "De reële en complexe getallen" wordt in de nota's niet bewezen. Bewijs daaruit de volgende drie formules: $\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$, $\left|z_1{z}_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|$ en $|\left|z_1\right|-\left|z_2\right||\le |z_1-z_2|$. Ga efficiënt te werk.
4. Geef een voorbeeld van een functie $f:[0,1]\to \mathbb{ℝ}$ die continu is in 0 en 1 maar nergens anders.
5. Neem drie getallen $p,q,r\in \mathbb{ℝ}$ en definieer $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ door $f(x)=px+q$ als $x<r$ en $f(x)=x^2$ als $x\ge r$. Voor welke waarden van deze parameters zal $f$ overal differentieerbaar zijn? Bespreek je antwoord en illustreer het met behulp van een grafiek van $f$.
6. In voorbeeld 2.7.ii (Afgeleiden II) staat: "In de limiet $n\to \mathrm{\infty }$ levert dit $\exp x=(\exp c)\exp (x-c)$." Toon dat aan
7. Werk het bewijs van propositie 2.2 (Speciale functies) verder uit.