Algebra II

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Academiejaar 2017-2018

Het vak werd gegeven door prof. Castryck.

Juni 2018

Examen juni 2018

Academiejaar 2015-2016

Het vak werd gegeven door prof. Huisman.

Juni 2016

Examen juni 2016

Oplossing examen juni 2016

Academiejaar 2014-2015

Juni 2015

Examen juni 2015

Academiejaar 2013-2014

Augustus 2014

Examen augustus 2014

Academiejaar 2012-2013

Juni 2013

Examen juni 2013

Academiejaar 2011-2012

Vanaf dit jaar wordt het vak gegeven door professor Nicaise, met een nieuwe cursus.

Januari 2012

We hadden 3,5 uur. Er werd gezegd dat 4 en 5c de moeilijkste vragen waren.

1. Bepaal alle deelvelden van het ontbindingsveld van $x^3-2$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$.
2. We noteren met $\bar{\alpha }$ het complex toegevoegde van een complex getal $\alpha$. Zij $K$ een deelveld van $\mathbb{ℂ}$ met eindige uitbreidingsgraad over $\mathbb{\mathbb{Q}}$. Zijn de volgende uitspraken waar of niet waar? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
   1. Als $\alpha \in K$, dan is $\bar{\alpha }\in K$.
   2. Veronderstel dat $K$ een normale uitbreiding van $\mathbb{\mathbb{Q}}$ is, dan is $\bar{\alpha }\in K$ als $\alpha \in K$.
3. Zij $f$ een irreducibele separabele veelterm van de derde graad over een veld $K$. Zij ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ en ${\alpha }_3$ de wortels van $f$ in een ontbindingsveld.
   1. Toon aan dat ${\alpha }_1{\alpha }_2$, ${\alpha }_1{\alpha }_3$ en ${\alpha }_2{\alpha }_3$ de wortels zijn van een veelterm $g$ van graad $3$ over $K$.
   2. Bepaal $g$ als $f=x^3+a{x}^2+bx+c$.
   3. Bewijs dat het ontbindingsveld van $f$ over $K$ gelijk is aan het ontbindingsveld van $g$ over $K$ en dat $g$ irreducibel is.
4. (oefening uit de cursus) Zij $I$ een verzameling en $G_i$ een abelse groep voor elke $i\in I$. Bewijs dat de verabelsing van het vrij product $\coprod _{i\in I}{G}_i$ isomorf is met de groep $\underset{i\in I}{⨁}{G}_i=\{(g_i|i\in I)|g_i\in G_i\text{ voor alle }i\text{ en }{g}_i=1\text{ voor bijna alle }i\}$ met componentsgewijze vermenigvuldiging. Hier betekent "voor bijna alle" dat $g_i=1$ voor alle $i$ in $I$ op een eindig aantal na. Hint: gebruik de universele eigenschap van de verabelsing en van het vrij product.
5. (Je mag gebruikmaken van de structuurstelling voor eindige commutatieve groepen.)
   1. Bewijs dat een groep waarin elk element (verschillend van $1$) orde $2$ heeft, commutatief is.
   2. Zij $G$ een niet-commutatieve groep met acht elementen. Geef presentaties voor $Z(G)$ en $G/Z(G)$.
   3. Classificeer alle groepen van orde $8$ op isomorfisme na. Doe dit door uit elke isomorfieklasse een representant te nemen en te werken met presentaties. Bewijs dat een groep van orde $8$ altijd isomorf is met een van de representanten en dat deze niet onderling isomorf zijn.

Academiejaar 2010-2011

Januari 2011

1. • Op pagina 9 van Galoistheorie staat in het bewijs van Stelling 2.2.5. "Het is gemakkelijk aan te tonen dat de afbeelding een isomorfisme is van vectorruimten over E". Toon aan dat deze afbeelding een injectie is.
   • In het deel over Hilbert's Nullstellensatz staat in Opmerking 1.4. "Het is niet waar dat de unie van een oneindig aantal algebraïsche verzamelingen steeds een algebraïsche verzameling is". Geef een voorbeeld van een oneindige unie van algebraïsche verzamelingen die geen algebraïsche verzameling is.
2. Zij $w=e^{2\pi i/5}$. In de oefenzitting hebben we aangetoond dat $\mathbb{\mathbb{Q}}(w)$ Galois is over $\mathbb{\mathbb{Q}}$ en dat de Galoisgroep van $\mathbb{\mathbb{Q}}(w)$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$ cyclisch is.
   • Geef een generator voor deze Galoisgroep.
   • Bepaal alle deelvelden van $\mathbb{\mathbb{Q}}(w)$.
3. Zij $K\subset E$ en E is het ontbindingsveld van een veelterm $f(x)\in K[x]$ van graad n. Zij ${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$ de verschillende wortels van f. We identificeren de Galoisgroep van E over K zoals in de cursus met een deelgroep van ${{𝒮}}_n$ met behulp van het injectief groepshomomorfisme: $\text{Gal}(E/K)⟶{{𝒮}}_n:\sigma ⟶\sigma {|}_{{\alpha }_1,...,{\alpha }_{,}}$. Definieer $\mathrm{\Delta }$ als volgt: $\mathrm{\Delta }=\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_i-{\alpha }_j)$
   • Toon aan dat $\sigma (\mathrm{\Delta })=sgn(\sigma )\mathrm{\Delta }$.
   • Toon aan dat ${\mathrm{\Delta }}^2\in K$.
   • We identificeren ${{𝒜}}_n\cap Gal(E/K)$ via de Galoiscorrespondentie met een deelveld van E. Toon aan dat dit deelveld $K(\mathrm{\Delta })$ is.
   • Toon aan dat $Gal(E/K)\subset {{𝒜}}_n\iff \mathrm{\Delta }\in K$
4. Waar of niet waar? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
   • Zij $a,b\in E$. Als er een automorfisme $\varphi$ van E over K bestaat met $\varphi (a)=b$, dan hebben a en b dezelfde minimale veelterm over K.
   • Zij $a,b\in E$. Als a en b dezelfde minimale veelterm over K hebben, dan bestaat er een automorfisme $\varphi$ van E over K met $\varphi (a)=b$.
5. Geef een Gröbnerbasis van $I=⟨x^2-z,x{y}^2-z⟩$ en bereken $⟨lt(I)⟩$.

Academiejaar 2009-2010

15 januari 2010 (NM)

Examen 15 januari 2010 (NM) en haar oplossingen.

Academiejaar 2008-2009

Januari 2009

Examen januari 2009

September 2009

1. Op pagina 25 staat Lemma 4.2.5. In het bewijs staat dat het makkelijk na te gaan is dat E' een radikale uitbreiding is van K en dat E' stabiel is ten opzichte van $K\subset E^{″}$. Leg uitvoerig uit.
2. Zij $w_n=e^{2\pi i/n}$ met n verschillend van 0. Beschouw H de deelgroep van de multiplicatieve groep van $\mathbb{\mathbb{Q}}(w_n)$, voortgebracht door $w_n$.
   • Bewijs dat H cyclisch is van orde n, en dat elk element van $Gal(\mathbb{\mathbb{Q}}(w_n),\mathbb{\mathbb{Q}})$ uw $w_n$ afbeeldt op een generator.
   • Vanaf nu is n = 12. Geef een afschatting N van het aantal elementen in $Gal(\mathbb{\mathbb{Q}}(w_n),\mathbb{\mathbb{Q}})$.
   • Geef een veelterm van graad N met $w_n$ als wortel die irreducibel is over $\mathbb{\mathbb{Q}}$.
   • Bewijs dat $\mathbb{\mathbb{Q}}\subset \mathbb{\mathbb{Q}}(w_n)$ galois is en leg uit hoe de galoisgroep eruit ziet (maw: met welke bekende groep is deze isomorf?) Antwoord was N=4, want enkel 1, 5, 7 en 11 zijn onderling ondeelbaar met 12. Galoisgroep is isomorf met Z_2 + Z_2
3. Zij $K\subset L$ een Galois-velduitbreiding met Galoisgroep G en zij $\alpha \in L$. Toon aan: $L=K\left(\alpha \right)\iff$ de beelden van $\alpha$ onder de elementen van G zijn allemaal verschillend.
4. Geef twee veeltermen $f,g\in \mathbb{ℂ}[x,y]$ zodat {f, g} geen Grobnerbasis is voor <f, g> voor eender welke monomenordening. Mogelijk antwoord was x+1 en x. (hier moest wel nog extra uitleg bij waarom - uitleggen waarom 1 nooit groter dan x kan zijn voor een monomenordening.)
5. Bekijk opmerking 1.3 van de blaadjes over Nullstellensatz.
   • Geef een voorbeeld van $IJ\ne I\cap J$ en een voorbeeld van $IJ=I\cap J$
   • Is $V(I\cap J)=V(I)\cup V(J)$ voor I, J idealen in een polynomenring $F[x_1,x_2,...,x_n]$ met F een veld? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld! Antwoord was dat het wel degelijk gelijk was.

Academiejaar 2007-2008

28 januari 2008 (NM)

Het examen is (uiteraard) open boek. Je hebt vier uur tijd voor dit examen. Opgaven en oplossingen van het examen.

September 2008

1. Lemma 4.55. Leg uit waarom de laatste zin van de eerste paragraaf in het bewijs van dat lemma waar is. "Thus an element of G is of order p if and only if it cyclically permutes roots of f."
2. • Zij $K\subset L$ een velduitbreiding van graad 3 die Galois is. Zij $x_1,x_2,x_3$ een basis van L als vectorruimte over K en zij $Gal(L,K)=\{{\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3\}$. Definieer$d:=\det \left(\begin{array}{ccc}{\sigma }_1(x_1)& {\sigma }_1(x_2)& {\sigma }_1(x_3)\\ {\sigma }_2(x_1)& {\sigma }_2(x_2)& {\sigma }_2(x_3)\\ {\sigma }_3(x_1)& {\sigma }_3(x_2)& {\sigma }_3(x_3)\end{array}\right).$ Toon aan dat $d\in K$.
   • Zij $K\subset L$ een Galois-velduitbreiding met Galoisgroep G en zij $\alpha \in L$. Toon aan: $L=K\left(\alpha \right)\iff$ de beelden van $\alpha$ onder de elementen van G zijn allemaal verschillend.
3. • Bepaal de Galoisgroep van $x^4-8x^2+9$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$. Met welke bekende groep is deze isomorf? Verklaar elke stap! (Je mag aannemen dat de vermelde polynoom irreducibel is over $\mathbb{\mathbb{Q}}$.)
   • Bepaal de Galoisgroep voor dezelfde polynoom over $\mathbb{\mathbb{Q}}\left(\sqrt{7}\right)$.
4. • Zij $G:=\{xy-xz,x^{2}z+y^3-1,x^{3}z+x{z}^3-x\}$. Is dit een Gröbnerbasis voor ${<}_{grevlex}$ met $x>y>z$. Indien wel, is ze dan ook minimaal en gereduceerd? Indien niet, geef dan een $f\in <G>$ met f rem G $\ne$ 0.
   • Dezelfde vraag voor ${<}_{lex}$.

Academiejaar 2006-2007

15 januari 2007

Examen 15 januari 2007

Academiejaar 2002-2003

Januari 2003

1. Waar is niet waar? (Bewijs of geef een tegenvoorbeeld)
   • Zij $K\subset L$ een velduitbreiding van graad 2. Dan is $L$ normaal over $K$.
   • Zij $L=K(\alpha )$. als de uitbreidingsgraad $[L:K]$ oneven is, dan is $L=K({\alpha }^2)$.
2. Zij $p\ne 2$ priem, en zij $\xi$ een complexe primitieve $p$-de eenheidswortel. dan is de Galoisgroep $G(\mathbb{\mathbb{Q}}(\xi ),\mathbb{\mathbb{Q}})$ isomorf met de multiplicatieve groep ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p^{\times }$. Zij $\chi$ het unieke niet-triviale groepsmorfisme van ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p^{\times }$ naar {1,-1}, en stel $\alpha =\sum _{s=1}^{p-1}\chi (s){\xi }^s$.
   • Toon aan dat er een uniek deelveld $K$ van $\mathbb{\mathbb{Q}}(\xi )$ bestaat met uitbreidingsgraad 2 over $\mathbb{\mathbb{Q}}$.
   • Fixeer een isomorfisme $\psi :G(\mathbb{\mathbb{Q}}(\xi ),\mathbb{\mathbb{Q}})\to {\mathbb{\mathbb{Z}}}_p^{\times }$. Bewijs dat, voor elk automorfisme $\sigma \in G(\mathbb{\mathbb{Q}}(\xi ),\mathbb{\mathbb{Q}})$, het beeld van $\alpha$ onder $\sigma$ gelijk is aan $(\chi \circ \psi )(\sigma )$ maal $\alpha$.
   • Toon aan dat $K=\mathbb{\mathbb{Q}}(\alpha )$.

Academiejaar 2001-2002

Januari 2002

1. Zij $K$ een eindige uitbreiding van het veld $\mathbb{\mathbb{Q}}$. zij $g(x_1,\dots ,x_n)$ een niet nul veelterm over $K$. Zij $A$ een deelverzameling van ${\mathbb{\mathbb{Q}}}^n$ en veronderstel dat $g$ nul is op elk element van $A$. Gebruik Galoistheorie om een niet nul veelterm $h(x_1,\dots ,x_n)$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$ te construeren die nul is op elk element van $A$.

Academiejaar 1999-2000

Januari 2000

1. Zij $L=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt[3]{2},\sqrt{3}i)$.
   • Is $L=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt[3]{2}\sqrt{3}i)$? Bepaal een minimale veelterm van $\sqrt[3]{2}\sqrt{3}i$ over $\mathbb{\mathbb{Q}}$.
   • Bepaal $G(L,\mathbb{\mathbb{Q}})$ en $L_{G(L,\mathbb{\mathbb{Q}})}$. Met welke groep is $G(L,\mathbb{\mathbb{Q}})$ isomorf?
2. Zij $F\subset K$ velden en $K$ een eindige separabele uitbreiding van $F$. Toon aan: $K$ is normaal over $F\iff$ voor elke velduitbreiding $L$ van $K$ en elk ringmorfisme $\sigma :K\to L$ met $\sigma {|}_F=I{d}_F$ geldt: $\sigma (K)\subset K$.

September 2000

1. • ...
   • Waar of niet waar? Zij $K\subset L$ velden en $a,b\in L$ met dezelfde minimale veelterm $f(x)$ over $K$. Veronderstel dat $L$ een eindige normale uitbreiding is over $K$. Dan bestaat er een $\sigma \in G(L:K)$ zodat $\sigma (a)=b$.
2. Zij $E$ een eindige normale uitbreiding van $\mathbb{\mathbb{Q}}$, met Galoisgroep $G(E:\mathbb{\mathbb{Q}})\cong {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4,+$.
   • Bewijs dat er $a,b\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ bestaan zodat $E=\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{a+\sqrt{b}})$.
   • Geef de stabiele velden t.o.v. $E$ en $\mathbb{\mathbb{Q}}$.
3. Geef een basis van de vectorruimte $\mathbb{\mathbb{Q}}(1+\sqrt[3]{5},\sqrt[4]{3})$ over het veld $\mathbb{\mathbb{Q}}(\sqrt{3})$.