Lineaire algebra

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek

Prof. Wim Veys

Lineaire algebra heeft de reputatie van een moeilijk vak. Dit is waarschijnlijk omdat het veel abstracter is dan de wiskundeleerstof uit het middelbaar. Het is dan ook even wennen aan abstracte begrippen als vectorruimte, lineaire afhankelijkheid, basis, inproduct... Het begrip matrix ken je waarschijnlijk al uit het middelbaar, en de kracht ervan komt hier pas echt tot z'n recht in de context van stelsels lineaire vergelijkingen en van lineaire transformaties.

Informatie over het examen

Het examen Lineaire Algebra is helemaal niet zo moeilijk als het vak op het eerste zicht lijkt. Het examen is schriftelijk, dus je hoeft al geen rechtstreekse confrontatie met prof. Veys aan te gaan. Het examen is gesloten boek, en je mag geen rekentoestel gebruiken.

Het examen begint met zeker 2 theorievragen (kijk bij de examenvragen voor voorbeelden). Theorievragen kunnen bewijzen zijn, en indien het bewijzen zijn, hoeven het geen bewijzen die letterlijk in de cursus staan te zijn. Het is dus de bedoeling dat je min of meer ervaren raakt in het bewijzen van dingen. Af en toe wordt hierop geoefend in de oefenzittingen.

Verder bestaat de kans dat een vraag over een van de toepassingen gesteld wordt. Je krijgt alle uitleg over die toepassing dan in een bijlage bij het examen, dus je hoeft ze niet van buiten te kennen. Deze vraag kan theoretisch geïnspireerd zijn, maar het kan ook een oefening zijn die concreet gebruik maakt van de theorie van de toepassing. Op het examen heb je waarschijnlijk te weinig tijd om je nog wegwijs te maken in de gegeven toepassing, dus zorg dat je de toepassingen vooraf grondig doorgenomen hebt (en ze verstaat).

De oefeningen zijn van heel uiteenlopende aard, maar meestal niks ondoenbaars (altijd volgens werkwijzen uit de oefenzittingen). Hier en daar kan soms wel eens *net iets meer* inzicht vereist zijn, dus blijf vooral rustig en geconcentreerd doorwerken. De laatste vraag is meestal een oefening in context van een bepaalde situatie of een verhaaltje, waar je meestal nogal wat inzicht en creativiteit goed kan gebruiken.

Uiteindelijk viel dit examen beter mee dan ik had verwacht, en dat bleek ook voor anderen zo te zijn. Zorg dat je zeker alles gestudeerd krijgt, en sla niks over uit tijdsnood. Je zou je dat anders beklagen op het examen in termen van deze oefening is helemaal niet zo moeilijk, en ik had ze zeker gekund als ik naar die theorie had gekeken.

Examens

Opmerking: Sinds 2006-2007 maken 'Duale ruimtes' en 'Bilineaire vormen' geen deel meer uit van de leerstof.

Augustus 2012

Augustus 2012

januari 2011

Januari 2011

Augustus 2010 (Fysica en wiskunde)

Augustus 2010

augustus 2010 (Informatica)

pdf: Media:Examen-augustus-2010.pdf

Januari 2010 (Fysica en wiskunde)

pdf: Januari

januari 2009 (Informatica)

pdf: Media:ExamenLA_jan2009.pdf

januari 2009 (Wiskunde / Natuurkunde)

1. Zij V en W eindigdimensionale vectorruimtes en ${𝒜}:V\to W$ een lineaire afbeelding. Formuleer en bewijs de dimensiestelling voor ${𝒜}$.
2. (a) Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en ${ℰ}$ en ${ℱ}$ twee basissen voor V. Zij A de matrix van basisverandering van ${ℰ}$ naar ${ℱ}$ en B de matrix van basisverandering van ${ℱ}$ naar ${ℰ}$. Bewijs dat A en B elkaars inverse zijn.
   • (b) Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en ${𝒜}:V\to V$ een orthogonale transformatie. Bewijs:
   • (1) elke eigenwaarde van ${𝒜}$ is +1 of -1.
   • (2) ${𝒜}$ is altijd injectief
   • Gelden deze eigenschappen ook als V oneindigdimensionaal is.
3. Beschouw in ${\mathbb{ℝ}}^3$ de verzameling H := \{ ($x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3|\sum _{i=1}^3{a}_i{x}_i=0,\sum _{i=1}^3{b}_i{x}_i=0$} met $a_i,b_i\in \mathbb{ℝ}$ voor elke i.
   • (a) Toon aan dat H een lineaire deelruimte van ${\mathbb{ℝ}}^3$ is.
   • (b) Toon aan dat de dimensie van H strikt positief is.
   • (c) Bepaal concrete $a_i$ en $b_i$ zodat dim H = 1.
4. Beschouw twee matrices $A,B\in {\mathbb{ℝ}}^{3\times 3}$. Stel dat A drie verschillende reële eigenwaarden ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$ en ${\lambda }_3$ heeft met respectieve eigenruimten $L_1$, $L_2$ en $L_3$. Stel dat B twee verschillende reële eigenwaarden ${\mu }_1$ en ${\mu }_2$ heeft met respectieve eigenruimten L:= <$L_1$, $L_2$> (de ruimte voorgebracht door $L_1$ en $L_2$) en $L_3$.
   • (a) Bepaal de eigenwaarden en bijhorende eigenruimten van AB.
   • (b) Argumenteer dat AB = BA.
5. Beschouw in ${\mathbb{ℝ}}^4$ de lineaire deelruimten U = <(1,0,1,0), (1,a,0,a)> en W = <(-1,a,a²,0),(0,-1,0,1)>.
   • Bespreek dan $dim(U^{\mathrm{\perp }}+W)$ in functie van de parameter $a\in \mathbb{ℝ}$. met $U^{\mathrm{\perp }}$ bedoelen we het orthogonaal complement van U met betrekking tot het standaard inproduct.)
6. Zij V, W, U eindigdimensionale vectorruimten en $f:V\to W$, $g:W\to U$ lineaire afbeeldingen.
   • (a) Toon aan dat $dimIm(g\circ f)\ge dimImg+dimImf-dimW$
   • (mogelijke hint: beschouw de beperking van g tot het beeld van f.)
   • (b) Stel nu dat V = W = U en g = f. Construeer in dit geval een voorbeeld waarbij voorgaande ongelijkheid strikt is.
7. Zijn de volgende uitspraken waar of niet? Bespreek.
   • (a)Zij $n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$ en zij ${ℒ}:{\mathbb{ℝ}}^n\to {\mathbb{ℝ}}^n$ een injectieve lineaire afbeelding. Zij $A\in {\mathbb{ℝ}}^{n\times n}$ een inverteerbare matrix. Dan bestaar er voor elke basis ${𝒱}$ van ${\mathbb{ℝ}}^n$ een basis ${𝒲}$ van ${\mathbb{ℝ}}^n$ zodat matrix $M_{{𝒱},{𝒲}}({ℒ})(={{ℒ}}_{{𝒱},{𝒲}})$ van ${ℒ}$ ten opzichte van de basissen ${𝒱}$ en ${𝒲}$ gegeven wordt door A.
   • (b)Voor elke reëel getal $a\in \mathbb{ℝ}$ stellen we $\underset{\_}{a}:=a-\lfloor a\rfloor$ waarbij $\lfloor a\rfloor$ het grootst geheel getal is kleiner dan of gelijk aan a. Zo geeft bijvoorbeeld voor a = 1,6 dat a = 1,6 - 1 = 0,6. Wanneer we het halfopen interval $[0,1[\subset \mathbb{ℝ}$ voorzien van een optelling $\oplus$ gedefineerd door $\mathrm{\forall }a,b\in [0,1[:a\oplus b:=\underset{\_}{a+b}$, en een scalaire vermenigvuldiging (*) (maal in een cirkel) gedefinieerd door $\mathrm{\forall }\lambda \in \mathbb{ℝ},a\in [0,1[:\lambda (*)a:=\underset{\_}{\lambda a}$, dan vormt dit een vectorruimte.

augustus 2008 (Wiskunde / Natuurkunde)

1. • Zij V een vectorruimte. Bewijs dat een maximaal vrij deel van V een basis is.
   • Zij ${ℒ}$ een lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte. Zij ${\lambda }_1$ en ${\lambda }_2$ twee verschillende eigenwaarden van ${ℒ}$ met respectievelijk eigenvectoren $v_1$ en $v_2$. Bewijs dat $v_1$ en $v_2$ lineair onafhankelijk zijn.
2. Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en ${𝒜}:V\to V$ een lineaire transformatie.
   • Leg uit wat een orthonormale basis is van V
   • Zij A de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van een orthonormale basis van V. Bewijs: ${𝒜}$ is symmetrisch $\iff A^T=A$
3. Zij $U=\{A\in {\mathbb{ℝ}}^{3\times 3}|\text{alle kolomsommen en rijsommen zijn nul}\}$ (met kolomsom bedoelen we de som van de elementen op een bepaalde kolom, analoog voor rijsom). Ga na of U al dan niet een lineaire deelruimte is van ${\mathbb{ℝ}}^{3\times 3}$. Zoja, geef de dimensie en een basis.
4. Toon aan dat de verzameling van $(2\times 2)$-matrices over $\mathbb{ℝ}$ die niet-diagonaliseerbaar zijn over $\mathbb{ℂ}$ gelijk is aan: $U:=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}|(a-d{)}^2=-4bc\}\setminus \{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right)\in {\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}\}$
   • Is deze verzameling U een lineaire deelruimte van ${\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$
   • Wat verandert er aan de verzameling U als we "niet-diagonaliseerbaar over $\mathbb{ℂ}$" vervangen door "niet-diagonaliseerbaar over $\mathbb{ℝ}$".
5. Bepaal de oplossingverzameling van volgende stelsel voor alle waarden van $\lambda ,\mu \in \mathbb{ℝ}$: $\{\begin{array}{l}\lambda x-2y+7z=-14\\ y-2z=\lambda +4\\ \lambda x-y+6\mu z=\lambda -12\end{array}$
6. Zij ${𝒰}$ een lineaire transformatie van de vectorruimte V.
   • Bewijs: $Ker({𝒰})\cap Im({𝒰})=\{o\}\iff Ker({{𝒰}}^2)=Ker({𝒰})$
   • Veronderstel nu bovendien dat V een eindigdimensionale vectroruimte is. Toon dan het volgende aan: $Ker({𝒰})\cap Im({𝒰})=\{o\}\Rightarrow Ker({𝒰})+Im({𝒰})=V$
7. • Voor $n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$ definiëren we het getal $d_n$ als de determinant van de volgende $(n\times n)$-matrix : $\left(\begin{array}{ccccccc}2& 1& 0& 0& & & \\ 1& 2& 1& 0& & & \\ 0& 1& 2& 1& & & \\ 0& 0& 1& 2& & & \\ & & & & \ddots & & \\ & & & & & 2& 1\\ & & & & & 1& 2\end{array}\right)$ Geef en bewijs een uitdrukking voor het getal $d_n$ als veelterm in n.
   • Zij V een 3-dimensionale vectorruimte met basissen ${ℰ}=\{e_1,e_2,e_3\}$ en ${ℱ}=\{f_1,f_2,f_3\}$. Stel dat de matrix van basisverandering van ${ℰ}$ naar ${ℱ}$ gegeven is door: ${{ℳ}}_{{ℰ},{ℱ}}=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 5\\ 1& 2& 3\\ 2& 4& 7\end{array}\right)$. Bepaal ${{ℳ}}_{{𝒰},{𝒱}}$ waarbij ${𝒰}=\{e_3,e_1,e_2\}$ en ${𝒱}=\{f_1+f_2,f_2,f_3+f_2\}$

Januari 2008 (Wiskunde / Natuurkunde)

PDF-versie van het examen: Media:Examen2008.pdf‎

(Excuses voor eht ontbreken van de lay-out, eerste post op de wiki, verbeteringen en aanvulling vraag (2 gedeeltelijk, 7b is niet zeker en) 3 zijn welkom)

1. Voltooi de bewering en bewijs: dim(U doorsnede W) + dim(...) = dim(U) + dim(W).
2. • Leg uit wat een orthonormale basis is.
   • Bewijs, als ronde A orthogonaal is <=> A^-1 = A^t.
   • Bestaat er een matrix A t.o.v. de standaardbasis gegeven door: ((3/5, 0, 4/5), (*,*,*), (*,*,*))
3. 3a en b)Zij (v1,v2,v3) een basis van V en (w1,w2) een basis van W. De verzameling U is gedefinieerd door alle lineaire afbeeldingen van V naar W. En dan wat over duale ruimtes oid met vragen over basissen en dimensies...
4. Gegeven de 3*4 matrix ((1,4,7,10),(2,5,8,11),(3,6,9,12)
   • Bepaal de basissen t.o.v. ((Ir,0), (0,0) met Ir een bovendriehoeksmatrix bestaande uit enen.
   • Zelfde matrix, bepaal basissen t.o.v. ((Ir, 1r), (0,0)) met 1r de r*(4-r) matrix bestaande uit enen.
5. Beschouw de matrix ((0,-2008,2008),(2008,0,a),(2008,a,0)). Bepaal voor welke a de matrix diagonaliseerbaar is en geef D en P van D = P^-1 A P.
6. Beschouw een matrix met rang r. Toon aan dat deze matrix te schrijven is als: A = A1 + A2 ... + Ar. Waarbij elke Ai rang 1 heeft.
7. WAAR of NIET WAAR, bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
   • Beschouw de lineaire afbeelding ronde A die bijectief en diagonaliseerbaar is. De eigenwaarden van ronde A^-1 zijn de inversen van de eigenwaarden van ronde A.
   • Een lineaire transformatie van R[x] die injectief is, is ook surjectief.

augustus 2007 (wiskunde/natuurkunde)

1. Bewijs dat de kolommenrang en rijenrang van een matrix gelijk zijn. Gebruik (eventueel) de Gauss-eliminatie ,de dimensie stelling.
2. Zij V een reëele vectorruimte en ${𝒜}$ de lineaire transformatie van V.
   • Definieer de begrippen eigenwaarde, eigenvector en eigenruimte van ${𝒜}$.
   • Zij V nu eindigdimensionaal. Leg uit wat de karakteristieke veelterm is van ${𝒜}$ en bewijs voor $\lambda \in \mathbb{ℝ}:\lambda$ is eigenwaarde van ${𝒜}\iff \lambda$ is een wortel van de karakteristieke veelterm van ${𝒜}$.
3. Bewijs dat de enige diagonaliseerbare nilpotente matrix gelijk is aan de nulmatrix.
   • Def.: matrix A noemen we nilpotent als er een $n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$ bestaat waarvoor $A^n=0$.
   • Is de voorwaarde diagonaliseerbaar noodzakelijk? Illustreer je antwoord.
4. Zijn volgende uitspraken WAAR of VALS? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
   • Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en $V=W\oplus W^{\prime }$ en $V=W\oplus W^{\prime \prime }$, dan is $W^{\prime }=W^{\prime \prime }$
   • Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en $V=W\oplus W^{\prime }$ en $V=W\oplus W^{\prime \prime }$, dan is $W^{\prime }\cong W^{\prime \prime }$
   • Zij V een oneindigdimensionale vectorruimte en $V=W\oplus W^{\prime }$ , dan zijn $W$ en $W^{\prime }$ ook oneindigdimensionaal.
5. Beschouw $\mathbb{ℝ}[X,Y{]}_{\le 2}=\left\{\begin{array}{c}a{X}^2+bXY+c{Y}^2+dX+eY+f|a,b,c,d,e,f\in \mathbb{ℝ}\end{array}\right\}$ met de gewone optelling en scalaire vermenigvuldiging is dit een vectorruimte.
   • Toon aan dat de afbeelding ${𝒜}:\mathbb{ℝ}[X,Y{]}_{\le 2}\to \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}:f\mapsto f(X,2)$ lineair is.
   • Geef de matrix van deze afbeelding ten opzichte van de basissen $\left\{\begin{array}{c}{X}^2,XY,Y^2,X,Y,1\end{array}\right\}$ van $\mathbb{ℝ}[X,Y{]}_{\le 2}$ en $\left\{\begin{array}{c}{X}^2,X,1\end{array}\right\}$ van $\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$.
   • Is de afbeelding injectief? surjectief? Wat is de rang van de lineaire afbeelding.
6. Beschouw voor $a\in \mathbb{ℝ}$ het volgende stelsel $\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}x+y-z=-1\\ (a-1)x+2y+(-a+4)z=0\\ 1x+(5-a)y+1z=1\end{array}$
   Voor welke waarden van a heeft dit stelsel
   • oneindig veel oplossingen?
   • geen oplossing?
   • één oplossing?
7. Voor $A,B\in {\mathbb{ℝ}}^{n\times n}$ , de vectorruimte van de $(n\times n)$-matrices, definiëren we $<A,B>=Sp(A.B^T)$
   • Toon aan dat dit een inproduct is.
   • We werken nu in deze inproductruimte voor n = 2. Geef het orthogonaal complement van de deelruimte $V\subset {\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$, waarbij $V=\left[\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\end{array}\right]$

januari 2007 (wiskunde/natuurkunde)

1. • bewijs dat $<S>=\bigcap _{i\in I_s}{U}_i$ met $\mathrm{\forall }i:U_i\subset S$
   • Stel dat een lineaire afbeelding 2 verschillende eigenwaarden heeft. Bewijs dan dat de bijbehorende eigenvectoren lineair onafhankelijk zijn
2. bewijs dat elke reeele symmetrische matrix een orthonormale basis heeft
3. (A is een nuldeler als AB=0 met B niet gelijk aan nul)
   • bewijs dat een matrix A inverteerbaar is <=> A geen nuldeler is
   • nagaan of iets een inproduct is
   • een orthonormale basis geven van een lineaire deelruimte met basis [(1,0,0,1),(1,0,1,0], er was een uitdrukking gegeven voor het inproduct
4. vraag met jaartal: 2007 als matrix-element
5. Bepaal bases V en W zoeken zodat de matrix A van de lineaire afbeelding van V naar W van de volgend vorm is $A=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.
6. Zij ${𝒜}:R\to R:a{x}^2+bx+c\to ax+bx+c+b{x}^2$
   • zoek alle eigenwaarden en eigenvectoren en geef een basis van eigenvectoren indien mogelijk.
7. zij een vectorruimte V met een basis ${ℰ}(e_1,e_2,e_3)$, en een deelruimte W voortgebracht door (e1,e2),
   • bewijs dat er een basis bestaat waarvan geen enkel element in W zit.
   • hetzelfde als a maar dan algemeen; dus een vectorruimte V met dimensie n, deelruimte W van V met dimensie m<n

2006-09-05 (wiskunde/natuurkunde)

1. Zij V en W eindigdimensionale vectorruimten over $\mathbb{ℝ}$ en zij ${𝒜}:V\to W$ een lineaire afbeelding.
   • Formuleer en bewijs de dimensiestelling voor ${𝒜}$.
   • Mogen V en/of W ook oneindigdimensionale vectorruimten zijn in de stelling?
   • Waar of niet waar? ${𝒜}$ is een isomorfisme $\iff Ker({𝒜})=0$
   • Geldt de stelling ook met een willekeurig veld K in plaats van $\mathbb{ℝ}$?
2. Zij V een eindigdimensionale vectorruimte met een bilineaire vorm $⟨,⟩$
   • Leg uit wat de matrix is van $⟨,⟩$ ten opzichte van een basis en definieer wanneer $⟨,⟩$ niet ontaard is.
   • Toon aan: $⟨,⟩$ is niet-ontaard $\iff \mathrm{\forall }w\in V:[(\mathrm{\forall }v\in V:⟨v,w⟩=0)\Rightarrow w=0]$
3. Beschouw $U_3\subseteq {\mathbb{ℝ}}^{\mathrm{\infty }}$, de verzameling van de oneindige rijen $(a_0,a_1,a_2,...)$ waarvoor geldt dat $a_m=a_n$ als $m-n$ deelbaar is door 3. Is $U_3$ een deelruimte van ${\mathbb{ℝ}}^{\mathrm{\infty }}$? Indien ja, geef dan een basis en de dimensie van $U_3$. Indien neen, bepaal dan de deelruimte van ${\mathbb{ℝ}}^{\mathrm{\infty }}$ voortgebracht door $U_3$. [Opmerking: $U_3=(a,b,c,a,b,c,a,b,c,...)|a,b,c\in \mathbb{ℝ}$]
4. Stel ${ℬ}=v_1,v_2,v_3$ is een basis voor ${\mathbb{ℝ}}^3$ en ${𝒜}:{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^3$ de lineaire afbeelding waarvoor geldt dat
   i) de eigenruimte geassocieerd aan eigenwaarde 2 is voortgebracht door $v_2+v_3$
   ii) de eigenruimte geassocieerd aan eigenwaarde 1 is voortgebracht door $v_3$
   iii) $Ker({𝒜})=\{x{v}_1+y{v}_2+z{v}_3|x+y=x+z=0\}$
   • Geef de matrix A van ${𝒜}$ ten opzichte van ${ℬ}$.
   • Is A diagonaliseerbaar? Verklaar. Geef indien mogelijk matrices P en D met D diagonaalmatrix waarvoor geldt dat $P^{-1}AP=D$.
5. Zij $U=[(k,k+1,k+2)]$ en $V=[(-1,k,2),(2,1,k)]$ met $k\in \mathbb{ℝ}$ twee deelruimten van ${\mathbb{ℝ}}^3$. Geef voor elke $k\in \mathbb{ℝ}$ de doorsnede $U\bigcap V$.
6. Zij $A\in {\mathbb{ℝ}}^{n\times m}$. Toon aan dat als A rang 1 heeft, dat er twee matrices V en W bestaan, met $V\in {\mathbb{ℝ}}^{n\times 1}$ en $W\in {\mathbb{ℝ}}^{1\times m}$ zodat $A=V.W$
7. Zij V een eindigdimensionale inproductruimte.
   • Voor een lineaire deelruimte $U\subset V$ definiëren we $U^{\circ }:=\{f\in V^{*}|f(U)=0\}=\{f\in V^{*}|f(u)=0\mathrm{\forall }u\in U\}$. Bewijs dat $U^{\circ }$ een lineaire deelruimte is van $V^{*}$.
   • Zij W een lineaire deelruimte van V en zij $U=W^{\mathrm{\perp }}$. Bewijs dat $V^{*}=W^{\circ }⨁U^{\circ }$

2004-01-13 (wiskunde/natuurkunde)

1. Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en ${𝒜}:V\to V$ een lineaire transformatie. Zij A de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van een orthonormale basis van V.
   Bewijs: ${𝒜}$ is orthogonaal $⟺A^T=A^{-1}$.
2. Zij V een vectorruimte en zij $U_1$, $U_2$ en $U_3$ deelruimten van V.
   • Wat betekent $V=U_1\oplus U_2\oplus U_3$ ?
   • Zij V eindigdimensionaal. Bewijs: Als $V=U_1\oplus U_2\oplus U_3$, dan is $\dim (V)=\sum _{i=1}^3\dim (U_i)$.
3. Zij ${𝒜}:{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^3$ een lineaire afbeelding waarvoor ${𝒜}\circ {𝒜}=0$ en ${𝒜}\ne 0$.
   • Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3$. Toon aan dat ${𝒜}(v)\in \ker ({𝒜})$.
   • Toon aan dat $\ker ({𝒜})$ tweedimensionaal is.
   • Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3\setminus \ker {𝒜}$ en zij $\{{𝒜}(v),w\}$ een basis van $\ker ({𝒜})$. Bewijs dat ${𝒰}=\{v,{𝒜}(v),w\}$ een basis is van ${\mathbb{ℝ}}^3$.
   • Bepaal de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van ${𝒰}$.
4. Zij $\{e_1,\cdots ,e_n\}$ een basis van een vectorruimte V en zij $\{{\phi }_1,\cdots ,{\phi }_n\}$ een basis van de duale ruimte V*.
   • Toon aan dat ${𝒜}:V\to V:v\to {\phi }_1(v)e_1+\cdots +{\phi }_n(v)e_n$ een lineaire afbeelding is.
   • Toon aan dat ${𝒜}$ bovendien een isomorfisme van vectorruimten is.
5. Gegeven zijn ${ℬ}=\{X^2,X,X^2+X+1\}$ en ${{ℬ}}^{\prime }=\{X^2,1,X\}$. Zij ${𝒜}:\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}\to \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ een lineaire afbeelding met
   ${{ℳ}}_{{ℬ},{{ℬ}}^{\prime }}(A)=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)$
   waarbij m een reële parameter is.
   • Ga na dat ${ℬ}$ een basis is van $\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$.
   • Wat is ${𝒜}(X^2+X+1)$?
   • Voor welke getallen m is ${𝒜}$ surjectief?
   • Als m = −2, zoek dan de veeltermen $p\in \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ zodat $A(p)=-X^2+2X-1$.
6. Zij $A=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 6& -4\end{array}\right)\in {\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$. Bepaal $A^{2004}$.
7. Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij $v\in V$ . Als $v\ne 0$, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.

2004-01-13 (informatica)

1. Zij V en W eindigdimensionale vectorruimten en ${𝒜}:V\to W$ een lineaire afbeelding. Bewijs de dimensiestelling:
   $\dim (V)=\dim (\ker {𝒜})+dim(?)$
2. Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en zij W een deelruimte van V. Ter herinnering: $W^{\mathrm{\perp }}=\{v\in V|v\mathrm{\perp }w\text{ voor alle }w\in W\}$.
   • Bewijs dat $W^{\mathrm{\perp }}$ een deelruimte is van V .
   • Leg uit wat dit betekent en bewijs: $V=W\oplus W^{\mathrm{\perp }}$. Hint: Begin met een orthonormale basis van W te kiezen.
3. Zij $U=<(-1,2,3),(2,16,22),(8,14,18),(2,1,1)>$ een lineaire deelruimte van ${\mathbb{ℝ}}^3$.
   • Geef een basis van U.
   • Wat is de dimensie van U?
   • Bestaat er een basis van ${\mathbb{ℝ}}^3$ die jouw gevonden basis van U bevat? Zo ja, geef dan zo'n basis.
4. Zij ${𝒜}:{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^3$ een lineaire afbeelding waarvoor ${𝒜}\circ {𝒜}=0$ en ${𝒜}\ne 0$.
   • Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3$. Toon aan dat ${𝒜}(v)\in \ker ({𝒜})$.
   • Toon aan dat $\ker ({𝒜})$ tweedimensionaal is. Hint: Gebruik de dimensiestelling uit vraag 1.
   • Zij $v\in {\mathbb{ℝ}}^3\setminus \ker {𝒜}$ en zij $\{{𝒜}(v),w\}$ een basis van $\ker ({𝒜})$. Bewijs dat ${𝒰}=\{v,{𝒜}(v),w\}$ een basis is van ${\mathbb{ℝ}}^3$.
   • Bepaal de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van ${𝒰}$.
5. Gegeven zijn ${ℬ}=\{X^2,X,X^2+X+1\}$ en ${{ℬ}}^{\prime }=\{X^2,1,X\}$. Zij ${𝒜}:\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}\to \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ een lineaire afbeelding met
   ${{ℳ}}_{{ℬ},{{ℬ}}^{\prime }}(A)=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)$
   waarbij m een reële parameter is.
   • Ga na dat ${ℬ}$ een basis is van $\mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$.
   • Wat is ${𝒜}(X^2+X+1)$?
   • Voor welke getallen m is ${𝒜}$ surjectief?
   • Als m = −2, zoek dan de veeltermen $p\in \mathbb{ℝ}[X{]}_{\le 2}$ zodat $A(p)=-X^2+2X-1$.
6. Zij $A=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 6& -4\end{array}\right)\in {\mathbb{ℝ}}^{2\times 2}$.
   • Diagonaliseer A, zoek dus een matrix P en een diagonaalmatrix D zodat $P^{-1}AP=D$
   • Bepaal $A^{2004}$.
7. Waar of niet? Zij V een ééndimensionale vectorruimte en zij $v\in V$ . Als $v\ne 0$, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.

Tussentijdse toetsen

2011-11-17

Proefexamen 2011

Oplossing

2010-11-18

Oplossingen

2009-11-19

Proefexamen:
Media:ProefexamenLineaireAlgebra2009.pdf‎

Oplossingen:
Media:LineaireAlgebraProefexamen2009oplossingen.pdf‎

2008-11-20

Proefexamen:
Media:ProefexamenLineaireAlgebra2008.pdf
En Oplossingen:
Media:OplossingenProefexamenLineaireAlgebra2008.pdf

2007-11-23

Proefexamen:
Media:Proefexamen2007.pdf
Oplossingen:
Media:Opl_proefex07.pdf

2006-11-24

Media:proefex2006LA.pdf

2005-11-18

1. Zij ${𝒜}:V\to W$ een lineaire afbeelding tussen eindigdimensionale vectorruimten. Zij A de matrix van ${𝒜}$ ten opzicht van basissen ${ℰ}$ van V en ${ℱ}$ van W. Zij anderzijds A' de matrix van ${𝒜}$ ten opzichte van basissen ${{ℰ}}^{\prime }$ van V en ${{ℱ}}^{\prime }$ van W. Zij tenslotte P de matrix van basisverandering van ${ℰ}$ naar ${{ℰ}}^{\prime }$ en Q de matrix van basisverandering van ${ℱ}$ naar ${{ℱ}}^{\prime }$.
   Geef en bewijs de formule die A' uitdrukt in termen van A, P en Q.
2. Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en U en W deelruimten van V zodat $U\cap W=\{0_V\}$.
   Toon aan dat er een deelruimte W' van V bestaat zodat $W\subset W^{\prime }$ en $U\oplus W^{\prime }=V$.
3. Gegeven zijn twee deelruimten
   $U_a=[(4+a,2,0,-2),(3,a-1,0,-1)]$
   $V_a=[(3,5,a+1,-5),(0,10+a,0,0)]$
   van ${\mathbb{ℝ}}^4$.
   Bepaal $\dim (U_a\cap V_a)$ in functie van de reële parameter a.
   Merk op: Het is niet nodig om $U_a\cap V_a$ zelf expliciet te berekenen.
4. • Toon aan dat de vector cos, sin, en id uit de vectorruimte ${\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}$ lineair onafhankelijk zijn. Merk op dat bijvoorbeeld $\cos :\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}:x\to \cos (x)$.
   • Beschouw de verzameling
     $U=\{f\in {\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}\Vert \mathrm{\exists }a\in \mathbb{ℝ}:f(a)=0\}$
     Is U een deelruimte van ${\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}$? Verklaar je antwoord.

2004-11-??

1. Zijn U en W deelruimten van een eindigdimensionale vectorruimte V.
   • Leg uit wat U + W is.
   • Bewijs dat $\dim (U+W)+\dim (U\cap W)=\dim U+\dim W$.
     (Hint: Kies op doordachte manier basisssen.)
2. Zijn V en W vectorruimten. We definiëren het product van V en W als de verzameling $V\times W=\{(v,w)|v\in V,w\in W\}$. Met de optelling gedefinieerd door $(v_1,w_1)+(v_2,w_2)=(v_1+v_2,w_1+w_2)$ en de scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd door $\lambda (v,w)=(\lambda v,\lambda w)$ wordt $V\times W$ dan zelf een vectorruimte. (Dit hoef je niet te bewijzen.) Toon aan dat $\dim (V\times W)=\dim V+\dim W$.
3. Zij k een reële parameter en zij $\{e_1,e_2,e_3\}$ de standaardbasis van ${\mathbb{ℝ}}^3$. Zij v de vector met coördinaten (1, 1, -1) ten opzichte van deze basis. Zij $f_k$ de lineaire transformatie van ${\mathbb{ℝ}}^3$ waarvoor geldt dat $f_k(e_1)=k{e}_1-k{e}_2+k{e}_3$, $f_k(e_2)=-e_1+(2k-1)e_2+e_3$ en $f_k(e_3)=2e_1-2k{e}_2-2e_3$.
   Voor welke waarden van k behoort v tot het beeld van $f_k$?
4. Geef een voorbeeld van een vectorruimte V en een strikte deelruimte $W⊊V$ waarvoor geldt dat $V\cong W$. Bewijs ook dat je deelruimte aan de gevraagde voorwaarden voldoet.