Complexe Analyse: verschil tussen versies

Uit Wina Examenwiki
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
← Oudere bewerking
Stief.gijsen (overleg | bijdragen)
5 bewerkingen
 
(29 tussenliggende versies door 7 gebruikers niet weergegeven)
Regel 1: Regel 1:
=== vrijdag 24 juni 2011 ===
=Samenvattingen=
[[Complexe analyse/Samenvattingen| Klik hier om de samenvattingen te bekijken]]


Het vak werd dit jaar gegeven door professor Kuijlaars. Het examen is volledig schriftelijk en open boek, in die zin dat de cursusnota's gebruikt mochten worden, eventueel aangevuld met eigen nota's uit te les, maar geen materiaal uit de oefenzittingen. Tijdens het examen kwam professor Kuijlaars ook bij iedereen langs om te controleren of het meegebrachte materiaal voldeed aan de eisen.
=Examens - Antonio Vargas=
In academiejaar 2016-2017 werden de hoorcolleges gegeven door Antonio Vargas. Aangezien het examen in het Nederlands was en ook in het Nederlands mocht geantwoord worden (en Vargas geen Nederlands kan) werd het examen waarschijnlijk nog steeds opgesteld / verbeterd door professor Kuijlaars of een Nederlandstalige assistent. Het examen leek qua vragen enorm hard op de examens van professor Kuijlaars. Het was open boek, maar enkel het gebruikte handboek was toegestaan. Geen cursusnota's, uitgewerkte oefeningen, extra materiaal of rekenmachine.


Je kreeg vier uur de tijd om het examen op te lossen. Elk van de vragen telde even zwaar mee in het eindresultaat.
==Academiejaar 2016-2017==
[[Media:Complexe-Analyse-27-06-2017.pdf|Examen 27 juni 2017]] <br>
De opgegeven punten zijn zoals ze op het examen vermeld stonden.


[Opmerking: professor Kuijlaars vertelde me achteraf dat één van de opgaven uit dit examen niet volledig juist was geformuleerd. Indien iemand weet welke vraag dit betreft, gelieve een opmerking te plaatsen.]
[[Media:complexe_analyse_augustus2017.jpg|Examen 21 augustus 2017]] <br>
De punten per vraag zijn vermeld onder het vraagnummer.


'''Vraag 1:'''
=Examens - Professor Kuijlaars=
Geldt de stelling van Rolle in het complexe vlak? Met andere woorden, is het volgende waar:
Complexe Analyse gegeven door professor Kuijlaars. Het examen is volledig schriftelijk en open boek, in die zin dat de cursusnota's gebruikt mochten worden, eventueel aangevuld met eigen nota's uit te les, maar geen materiaal uit de oefenzittingen. Tijdens het examen kwam professor Kuijlaars ook bij iedereen langs om te controleren of het meegebrachte materiaal voldeed aan de eisen.


zij <math>\Omega \subseteq \mathbb{C} </math> open en zij <math>[a,b] = \{ (1-t)a + tb | t \in [0,1] \} \subseteq \Omega</math>. Veronderstel dat <math>f: \Omega \rightarrow \mathbb{C}</math> analytisch is zodat <math>f(a) = f(b)</math>. Dan bestaat er een <math>c \in [a,b]</math> zodat <math>f'(c) = 0</math>.
Er zijn ook een aantal [[Media:Mogelijke-Examenvragen.pdf|voorbeeldexamenvragen]] ter beschikking gesteld.
Indien ja, bewijs. Indien nee, geef een tegenvoorbeeld.


'''Vraag 2:'''
==Academiejaar 2017-2018==
Zoals bekend is de Gammafunctie gedefinieerd door <math>\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} \, t^{z-1} e^{-t} \, dt </math> voor Re<math>(z) > 0</math>. Zij nu <math>\gamma</math> een oneindige contour zoals op de volgende figuur gegeven [de figuur liet een kromme zien die onder de positieve reële as vertrok, en vervolgens rond nul ging om langs de bovenzijde van de positieve reële as naar rechts te gaan]. Definieer de functie <math>f(z) = \int_{\gamma} \, t^{z-1} e^{-t} \, dt </math>. De integraal die gebruikt wordt in het definiëren van <math>f</math> convergeert voor iedere <math>z \in \mathbb{C}</math> waarvoor Re<math>(z) > 0</math> (dit hoeft u niet aan te tonen).


(a) Toon aan dat <math>f(z) = -2i e^{i \pi z} \sin(\pi z) \Gamma(z)</math>.
[[Media:Examen_2018_Complexe_Analyse.pdf|Examen 26 juni 2018]]


(b) Wat zijn de nulpunten van <math>f</math> in het complexe vlak? (U mag gebruiken dat de Gammafunctie geen nulpunten heeft voor Re<math>(z) > 0</math>.)
==Academiejaar 2015-2016==


'''Vraag 3:'''
[[Media:Stat_inf_january2017.pdf|Examen 21 juni 2016]]
(a) Zij P(z) een complexe veelterm met nulpunten <math>z_1, \ldots, z_n</math> en respectievelijke multipliciteiten <math>m_1, \ldots, m_n</math>. Zij <math>R \in \mathbb{R}</math> zodat <math>R > |z_k|</math> voor iedere <math>k \in \{1, \ldots, n\}</math>.


Bereken de integralen <math>\frac{1}{2 \pi i} \int_{C(0, R)} \frac{z P'(z)}{P(z)} \, dz</math> en <math>\frac{1}{2 \pi i} \int_{C(0, R)} \frac{P'(z)}{z P(z)} \, dz</math>
==Academiejaar 2014-2015==


en druk uw antwoord uit in een zo eenvoudig mogelijke uitdrukking in termen van de nulpunten <math>z_k</math> en multipliciteiten <math>m_k</math> van <math>P</math>.
[[Media:Complexe_K.pdf|Examen 18 juni 2015 (Kortrijk)]]


(b) Zij <math>f</math> een functie die analytisch is in <math>D(0, 1 + \varepsilon)</math> voor een zekere <math>\varepsilon > 0</math> zodat <math>|f(z)| < 1</math> voor <math>|z| < 1</math>. Bewijs dan dat de vergelijking <math>f(z) = z^n</math> precies <math>n</math> oplossingen heeft in <math>D(0, 1)</math>. Hierbij worden de oplossingen geteld naargelang hun multipliciteit.
==Academiejaar 2013-2014==


'''Vraag 4:'''
Zij <math>R > 0</math> en beschouw het gebied <math>\Omega = \{ z = x + iy | 0 < x < R, y > 0 \} </math>.


(a) Wat is het beeld van <math>\Omega</math> onder de afbeelding <math>z \rightarrow e^{iz}</math>?
[[Media:CA_juni2014.pdf|Examen 20 juni 2014 (vragen)]] <br>
[[Media:CA_juni2014+uitwerkingen.pdf|Examen 20 juni 2014 (met oplossingen)]]


(b) Vind een conforme afbeelding die <math>\Omega</math> afbeeldt op het bovenhalfvlak.
==Academiejaar 2012-2013==
===21 juni 2013 (NM)===
[[Media:Juni2013.pdf|Examen 21 juni 2013 (NM)]]


(c) Vind een harmonische functie <math>u(x,y)</math> op <math>\Omega</math> zodat <math>u</math> continu is op <math>\overline{\Omega} \backslash \{(0,0)\}</math> en die voldoet aan volgende randvoorwaarden: <math>\begin{cases} u(0,y) = 1 \quad | \quad y > 0 \\ u(x,0) = 0 \quad | \quad 0 < x < R \\ u(R,y) = 0 \quad | \quad y > 0 \end{cases}</math>.
===26 augustus 2013 (NM)===
[[Media:Aug2013-2.pdf|Examen 26 augustus 2013 (NM)]]


U mag uw antwoord laten staan in functie van de conforme afbeelding die u in (b) gevonden heeft.
==Academiejaar 2011-2012==
===22 juni 2012 (NM)===
[[Media:Juni2012-uitwerkingen.pdf|Examen 22 juni 2012 (NM) (opgaven en uitwerkingen)]]


=== Juni 2010 ===
===27 augustus 2012 (NM)===
[[Media:Verslag2010juni.pdf]]
[[Media:Aug2012.pdf|Examen 27 augustus 2012 (NM)]]


=== Juni 2009 ===
==Academiejaar 2010-2011==
[[Media:Complexe_analyse_juni2009.pdf]]
===24 juni 2011===
 
[[Media:Juni2011.pdf|Examen 24 juni 2011 (NM)]] en de [[Media:UitwerkingenCA-Juni2011.pdf|uitwerkingen]].
=== September 2008 ===
[[Media:complexe_analyse_examen_augustus2008.pdf]]
 
=== Juni 2008 ===
[[Media:complexe_analyse_examen_juni2008.pdf]]


==Academiejaar 2006-2007==
=== 23 juni 2007 ===
=== 23 juni 2007 ===
Bij de examens in juni 2007 was er ook een mondeling gedeelte. De opgave werd ergens in het midden van het semester gegeven en moest worden voorbereid voor het examen. Gevraagd was om precies uit te zoeken hoe men in het boek van Ash & Novinger van de definitie van een analystische functie tot het resultaat komt dat de afgeleide van een analytische ook analytisch is. Dan moest je in de bibliotheek een willekeurig boek van complexe analyse nemen en kijken hoe ze het daar deden. Daarvan moest een samenvatting gemaakt worden, en dit moet je dan uiteindelijk op het examen kort uitleggen aan de prof (zonder notas of samenvatting!) Prof Kuijlaars stelt dan een aantal analysevragen van het genre 'hoe ziet die kromme eruit' of 'wat voor soort verzameling mag dat zijn'.
Bij de examens in juni 2007 was er ook een mondeling gedeelte. De opgave werd ergens in het midden van het semester gegeven en moest worden voorbereid voor het examen. Gevraagd was om precies uit te zoeken hoe men in het boek van Ash & Novinger van de definitie van een analystische functie tot het resultaat komt dat de afgeleide van een analytische ook analytisch is. Dan moest je in de bibliotheek een willekeurig boek van complexe analyse nemen en kijken hoe ze het daar deden. Daarvan moest een samenvatting gemaakt worden, en dit moet je dan uiteindelijk op het examen kort uitleggen aan de prof (zonder notas of samenvatting!) Prof Kuijlaars stelt dan een aantal analysevragen van het genre 'hoe ziet die kromme eruit' of 'wat voor soort verzameling mag dat zijn'.


En ook deze vragen zijn slechts een weerspiegeling van mijn herinneringen. Elke vraag telt alleszins voor 4 punten; het mondelinge gedeelte ook.
En ook deze vragen zijn slechts een weerspiegeling van mijn herinneringen. Elke vraag telt alleszins voor 4 punten; het mondelinge gedeelte ook.


* '''Vraag 1:''' Geldt de middelwaardestelling ook in het complexe vlak? Dus zij <math>f</math> een analytische functie en zij <math>a\neq b</math>. Bestaat er dan een <math>c \in [a,b]</math> zodat <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
# Geldt de middelwaardestelling ook in het complexe vlak? Dus zij <math>f</math> een analytische functie en zij <math>a\neq b</math>. Bestaat er dan een <math>c \in [a,b]</math> zodat <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
 
# Beschouw de integraal <math>\int_{0}^{+\infty} \frac{x^a}{1+x^3}\,dx</math>.
* '''Vraag 2:''' Beschouw de integraal
#* Voor welke waarden van <math>a</math> bestaat deze integraal?
<math>\int_{0}^{+\infty} \frac{x^a}{1+x^3}\,dx</math>
#* Bereken de integraal voor de waarden van <math>a</math> die je in (a) gevonden hebt.
 
# Zij <math>f</math> analytisch op <math>\mathbb C^+</math> en continu op <math>\mathbb C^+ \cup ]-1,1[</math>.
(a) Voor welke waarden van <math>a</math> bestaat deze integraal?
#* Welke van de volgende functies op <math>\mathbb C^-</math> zijn analytisch? Verklaar je antwoord. <math>g_1(z)=f(\overline{z}) \quad g_2(z)=\overline{f(\overline{z})} \quad g_3(z)=\overline{f(z)}</math>
 
#* Neem aan dat <math>f</math> reële waarden aanneemt op <math>]-1,1[</math>. Toon aan dat <math>f</math> een analytische voortzetting heeft tot <math>\mathbb{C} \setminus  \left(]-\infty,1] \cup [1,+\infty[\right)</math>.
(b) Bereken de integraal voor de waarden van <math>a</math> die je in (a) gevonden hebt.
# Bonusvraag: Neem aan dat <math>f</math> reële waarden aanneemt op <math>]-1,1[</math>. Neem verder aan dat <math>\mathrm{Im}\left(f(z)\right)>0</math> voor <math>z\in\mathbb C^+</math>. Toon aan dat <math>f</math> beperkt tot <math>]-1,1[</math> stikt stijgend is.
 
#
* '''Vraag 3:''' Zij <math>f</math> analytisch op <math>\mathbb C^+</math> en continu op <math>\mathbb C^+ \cup ]-1,1[</math>.
#* Toon aan dat de afbeelding <math>z \mapsto z+\frac{1}{z}</math> injectief is op <math>\Omega=\{z\in \mathbb C : |z|<0, \textrm{Im} (z)>0\}</math> en geeft het beeldgebied.
(a) Welke van de volgende functies op <math>\mathbb C^-</math> zijn analytisch? Verklaar je antwoord.
#* Vind een Möbiustransformatie van <math>D(0,1)\setminus[\frac12,1[</math> naar <math>D(0,1)\setminus[0,1[.</math>
 
#* Vind een conforme afbeelding van <math>D(0,1)\setminus[\frac12,1[</math> naar <math>D\left(0,1\right)</math>.
<math>g_1(z)=f(\overline{z}) \quad g_2(z)=\overline{f(\overline{z})} \quad g_3(z)=\overline{f(z)}</math>
 
(b) Neem aan dat <math>f</math> reële waarden aanneemt op ]-1,1[. Toon aan dat <math>f</math> een analytische voortzetting heeft tot <math>\mathbb C \setminus  \left(]-\infty,1] \cup [1,+\infty[\right)</math>.
 
(c) Bonusvraag: Neem aan dat <math>f</math> reële waarden aanneemt op ]-1,1[. Neem verder aan dat <math>\mathrm{Im}\left(f(z)\right)>0</math> voor <math>z\in\mathbb C^+</math>. Toon aan dat <math>f</math> beperkt tot ]-1,1[ stikt stijgend is.
 
* '''Vraag 4:'''
(a) Toon aan dat de afbeelding <math>z \mapsto z+\frac{1}{z}</math> injectief is op <math>\Omega=\{z\in \mathbb C : |z|<0, \textrm{Im} (z)>0\}</math> en geeft het beeldgebied.
 
(b) Vind een Möbiustransformatie van <math>D(0,1)\setminus[\frac12,1[</math> naar <math>D(0,1)\setminus[0,1[.</math>
 
(c) Vind een conforme afbeelding van <math>D(0,1)\setminus[\frac12,1[</math> naar <math>D\left(0,1\right)</math>.


=== 18 juni 2007 ===
=== 18 juni 2007 ===
Ook deze vragen komen enkel uit mijn herinnering. Excuseer mij als er fouten of onnauwkeurigheden in staan. [[Media:ComlexeAnalyse18062007.pdf|Examen 18 juni 2007]]


Ook deze vragen komen enkel uit mijn herinnering. Excuseer mij als er fouten of onnauwkeurigheden in staan. [[Media:ComlexeAnalyse18062007.pdf]]
==Academiejaar lang geleden==
 
===17 januarie===
 
# Zij <math>f</math> een analytische functie op <math>D(0,1)</math>, met <math>0 < r < 1</math>. Onderstel dat <math>f</math> injectief is op de annulus <math>A_r = \{z | r < |z| < 1\}</math>. Bewijs dat <math>f</math> analytisch is op heel de eenheidsschijf <math>D(0,1)</math>. [hint: denk aan het argumentprincipe.]
=== Jan 17 enige jaren terug ===
# Geldt de stelling van Rolle ook in het complexe vlak? Met andere woorden, zij <math>G \subset \mathbb{C}</math> een gebied, en <math>f</math> een analytische functie op <math>G</math>. Onderstel dat <math>z_0, z_1 \in G</math>, met <math>[z_0,z_1] \subset G</math>, en <math>f(z_0) = f(z_1)</math>. Dan is er een punt <math>z \in [z_0,z_1]</math> met <math>f'(z) = 0</math>.
(de inhoud van dit vak is ondertussen waarschijnlijk al gewijzigd, maar de vragen lijken toch nog relevant)
# Zij <math>f</math> een rationale functie op <math>\mathbb{C}</math>, dus <math>f = p/q</math>, met <math>p</math> en <math>q</math> complexe veeltermen. Definieer het residu van <math>f</math> in oneindig als volgt: stel dat <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n z^n</math> de laurentreeks voor <math>f</math> die convergeert voor <math>|z| > R</math>, voor zekere <math>R > 0</math>. Dan is <math>\text{Res}(f,\infty) = -a_{-1}</math>. Bewijs dat de som van de residuen in de polen van <math>f</math> (met oneindig inbegrepen) gelijk is aan 0.
 
# Bereken de hoofdwaarde-integraal <math>\text{PV} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(kx)-\cos(lx)}{x^2}dx</math>.
Beste,
 
Ik heb de vragen noch overgepend, noch meegenomen, maar proberen te onthouden. Er kunnen dus onnauwkeurigheden in zitten,
maar toch:


1) Zij f een analytische functie op D(0,1), 0 < r < 1. Onderstel dat f injectief is op de annulus <math>A_r = \{z | r < |z| < 1\}</math>.
=Examens - Professor Van Daele=
Bewijs dat f analytisch is op heel de eenheidsschijf D(0,1). [hint: denk aan het argumentprincipe.]
==Academiejaar 2009-2010==
===18 juni 2010 ===
[[Media:Verslag2010juni.pdf|Examen 18 juni 2010 (opgaven en verslag)]]


2) Geldt de stelling van Rolle ook in het complexe vlak? Met andere woorden, zij G een gebied, en f een analytische functie op G. Onderstel dat <math>z_0</math> en <math>z_1</math> punten in G zijn, met <math>[z_0,z_1] \subset G</math>, en <math>f(z_0) = f(z_1)</math>. Dan is er een punt <math>z \in [z_0,z_1]</math> met <math>f'(z) = 0</math>.
==Academiejaar 2008-2009==
===22 juni 2009 ===
[[Media:Complexe_analyse_juni2009.pdf|Examen 22 juni 2009 (opgaven en verslag)]]


3) Zij f een rationale functie op <math>\mathbb{C}</math>, dus f = p/q, met p en q complexe veeltermen. Definieer het residu van f in oneindig als volgt: stel dat <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n z^n</math> de laurentreeks voor f die convergeert voor |z| > R, voor zekere R > 0. Dan is <math>Res(f,\infty) = -a_{-1}</math>.
===20 augustus 2010===
Bewijs dat de som van de residuen in de polen van f (met oneindig inbegrepen) gelijk is aan 0.
[[Media:Verslag02 1.pdf|Examen 20 augustus 2009 (opgaven en verslag)]]


4) Bereken de hoofdwaarde-integraal PV <math>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{cos(kx)-cos(lx)}{x^2}dx</math>.
==Academiejaar 2007-2008==
===27 juni 2008 ===
[[Media:complexe_analyse_examen_juni2008.pdf|Examen 27 juni 2010 (opgaven en verslag)]]
===1 september 2008 ===
[[Media:complexe_analyse_examen_augustus2008.pdf|Examen 1 september 2008 (opgaven en verslag)]]


[[Categorie:3bw]]
[[Categorie:3bw]]

Huidige versie van 29 jun 2018 19:01

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Examens - Antonio Vargas

In academiejaar 2016-2017 werden de hoorcolleges gegeven door Antonio Vargas. Aangezien het examen in het Nederlands was en ook in het Nederlands mocht geantwoord worden (en Vargas geen Nederlands kan) werd het examen waarschijnlijk nog steeds opgesteld / verbeterd door professor Kuijlaars of een Nederlandstalige assistent. Het examen leek qua vragen enorm hard op de examens van professor Kuijlaars. Het was open boek, maar enkel het gebruikte handboek was toegestaan. Geen cursusnota's, uitgewerkte oefeningen, extra materiaal of rekenmachine.

Academiejaar 2016-2017

Examen 27 juni 2017
De opgegeven punten zijn zoals ze op het examen vermeld stonden.

Examen 21 augustus 2017
De punten per vraag zijn vermeld onder het vraagnummer.

Examens - Professor Kuijlaars

Complexe Analyse gegeven door professor Kuijlaars. Het examen is volledig schriftelijk en open boek, in die zin dat de cursusnota's gebruikt mochten worden, eventueel aangevuld met eigen nota's uit te les, maar geen materiaal uit de oefenzittingen. Tijdens het examen kwam professor Kuijlaars ook bij iedereen langs om te controleren of het meegebrachte materiaal voldeed aan de eisen.

Er zijn ook een aantal voorbeeldexamenvragen ter beschikking gesteld.

Academiejaar 2017-2018

Examen 26 juni 2018

Academiejaar 2015-2016

Examen 21 juni 2016

Academiejaar 2014-2015

Examen 18 juni 2015 (Kortrijk)

Academiejaar 2013-2014

Examen 20 juni 2014 (vragen)
Examen 20 juni 2014 (met oplossingen)

Academiejaar 2012-2013

21 juni 2013 (NM)

Examen 21 juni 2013 (NM)

26 augustus 2013 (NM)

Examen 26 augustus 2013 (NM)

Academiejaar 2011-2012

22 juni 2012 (NM)

Examen 22 juni 2012 (NM) (opgaven en uitwerkingen)

27 augustus 2012 (NM)

Examen 27 augustus 2012 (NM)

Academiejaar 2010-2011

24 juni 2011

Examen 24 juni 2011 (NM) en de uitwerkingen.

Academiejaar 2006-2007

23 juni 2007

Bij de examens in juni 2007 was er ook een mondeling gedeelte. De opgave werd ergens in het midden van het semester gegeven en moest worden voorbereid voor het examen. Gevraagd was om precies uit te zoeken hoe men in het boek van Ash & Novinger van de definitie van een analystische functie tot het resultaat komt dat de afgeleide van een analytische ook analytisch is. Dan moest je in de bibliotheek een willekeurig boek van complexe analyse nemen en kijken hoe ze het daar deden. Daarvan moest een samenvatting gemaakt worden, en dit moet je dan uiteindelijk op het examen kort uitleggen aan de prof (zonder notas of samenvatting!) Prof Kuijlaars stelt dan een aantal analysevragen van het genre 'hoe ziet die kromme eruit' of 'wat voor soort verzameling mag dat zijn'.

En ook deze vragen zijn slechts een weerspiegeling van mijn herinneringen. Elke vraag telt alleszins voor 4 punten; het mondelinge gedeelte ook.

  1. Geldt de middelwaardestelling ook in het complexe vlak? Dus zij f een analytische functie en zij a≠b. Bestaat er dan een c∈[a,b] zodat f′(c)=f(b)−f(a)b−a? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
  2. Beschouw de integraal ∫0+∞xa1+x3dx.
    • Voor welke waarden van a bestaat deze integraal?
    • Bereken de integraal voor de waarden van a die je in (a) gevonden hebt.
  3. Zij f analytisch op ℂ+ en continu op ℂ+∪]−1,1[.
    • Welke van de volgende functies op ℂ− zijn analytisch? Verklaar je antwoord. g1(z)=f(z‾)g2(z)=f(z‾)‾g3(z)=f(z)‾
    • Neem aan dat f reële waarden aanneemt op ]−1,1[. Toon aan dat f een analytische voortzetting heeft tot ℂ∖(]−∞,1]∪[1,+∞[).
  4. Bonusvraag: Neem aan dat f reële waarden aanneemt op ]−1,1[. Neem verder aan dat Im(f(z))>0 voor z∈ℂ+. Toon aan dat f beperkt tot ]−1,1[ stikt stijgend is.
    • Toon aan dat de afbeelding z↦z+1z injectief is op Ω={z∈ℂ:|z|<0,Im(z)>0} en geeft het beeldgebied.
    • Vind een Möbiustransformatie van D(0,1)∖[12,1[ naar D(0,1)∖[0,1[.
    • Vind een conforme afbeelding van D(0,1)∖[12,1[ naar D(0,1).

18 juni 2007

Ook deze vragen komen enkel uit mijn herinnering. Excuseer mij als er fouten of onnauwkeurigheden in staan. Examen 18 juni 2007

Academiejaar lang geleden

17 januarie

  1. Zij f een analytische functie op D(0,1), met 0<r<1. Onderstel dat f injectief is op de annulus Ar={z|r<|z|<1}. Bewijs dat f analytisch is op heel de eenheidsschijf D(0,1). [hint: denk aan het argumentprincipe.]
  2. Geldt de stelling van Rolle ook in het complexe vlak? Met andere woorden, zij G⊂ℂ een gebied, en f een analytische functie op G. Onderstel dat z0,z1∈G, met [z0,z1]⊂G, en f(z0)=f(z1). Dan is er een punt z∈[z0,z1] met f′(z)=0.
  3. Zij f een rationale functie op ℂ, dus f=p/q, met p en q complexe veeltermen. Definieer het residu van f in oneindig als volgt: stel dat f(z)=∑n=−∞∞anzn de laurentreeks voor f die convergeert voor |z|>R, voor zekere R>0. Dan is Res(f,∞)=−a−1. Bewijs dat de som van de residuen in de polen van f (met oneindig inbegrepen) gelijk is aan 0.
  4. Bereken de hoofdwaarde-integraal PV∫−∞∞cos⁡(kx)−cos⁡(lx)x2dx.

Examens - Professor Van Daele

Academiejaar 2009-2010

18 juni 2010

Examen 18 juni 2010 (opgaven en verslag)

Academiejaar 2008-2009

22 juni 2009

Examen 22 juni 2009 (opgaven en verslag)

20 augustus 2010

Examen 20 augustus 2009 (opgaven en verslag)

Academiejaar 2007-2008

27 juni 2008

Examen 27 juni 2010 (opgaven en verslag)

1 september 2008

Examen 1 september 2008 (opgaven en verslag)

Overgenomen van "http://examens.wina.be/index.php?title=Complexe_Analyse&oldid=18232"