Analyse II: verschil tussen versies

Uit Wina Examenwiki
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
← Oudere bewerking
Simeon.duwel (overleg | bijdragen)
webteam, wiki_admin, wiki_webteam
28 bewerkingen
→Examens - Professor Vaes: Examen van 2024-2025 toegevoegd
 
(88 tussenliggende versies door 27 gebruikers niet weergegeven)
Regel 1: Regel 1:
= Didactisch Team =
[[Afbeelding:Vaesvaas.jpeg|right|200px|thumb|Prof. Stefaan Vaes]]
{|
! Academiejaar
! Professor(en)
VAES \heartspace
! Assistent(en)
|-
| 2019-2020
| Professor1, Professor2
| Assistent1, Assistent2
|-
| 2020-2021
| Professor1, Professor2
| Assistent1, Assistent2
|}
=Samenvattingen=
[[Analyse II/Samenvattingen| Klik hier om de samenvattingen te bekijken]]
= Algemene informatie =
Analyse 2 is deels schriftelijk en deels mondeling en open boek. Zorg ervoor dat je zeer secuur werkt, de prof hecht hieraan wel wat belang.
Analyse 2 is deels schriftelijk en deels mondeling en open boek. Zorg ervoor dat je zeer secuur werkt, de prof hecht hieraan wel wat belang.
Op het mondeling is professor Vaes zeer vriendelijk, en als je iets niet kan zal hij je er stap voor stap doorheen helpen.  
Op het mondeling is professor Vaes zeer vriendelijk, en als je iets niet kan zal hij je er stap voor stap doorheen helpen.


= Examens =
'''Handig''' om deze vakken gevolgd te hebben:


==2009 - 2010 ==
Bewijzen en redeneren & Analyse I


De volgende drie files bevatten de originele opgaven van de januarizittijd 2010.
= Examens - Professor Vaes=
==Voorbeeldexamenvragen==
[[Media:Taak2.pdf|Examenvraag]]


Examen van 28 januari (Kortrijk): [[Media:AnalyseII-28-jan-2010.pdf]]
[[Media:Taak5.pdf|Examenvraag februari 2012]]


Examen van 27 januari: [[Media:AnalyseII-27-jan-2010.pdf]]
[[Media:Taak7.pdf|Examenvraag februari 2013]]


Examen van 11 januari: [[Media:AnalyseII-11-jan-2010.pdf]]
[[Media:Taak10.pdf|Examenvraag januari 2014]]


Examen van 11 januari 2010, weliswaar zonder het mooie schetsje:
[[Media:Extra.pdf|Verschillende examenvragen (2010-2013)]]


[[Media:analyseII_11januari2010.pdf|11 januari 2010]]
==Academiejaar 2024-2025==
[[Media:Examen_Analyse_II_2024-2025.pdf|Examen Analyse II 2024-2025]]


==Academiejaar 2008-2009==
==Academiejaar 2020-2021==
[[Media:Analyse_II__Examen_januari_2021.pdf|Examen Analyse II 13 januari 2021]]


===2009-26-01===
==Academiejaar 2019-2020==
[[Media:Analyse_16januari2020.pdf|Examen Analyse II 16 januari 2020]]


Originele opgave:
[[Media:Analyse_30januari2020.pdf|Examen Analyse II 30 januari 2020]]
Vraag 2: alfa < 1 en beta < gamma+1
Vraag 4: D_{A,B} = \frac{1}{2\pi y} (e^{2\pi i B y} - e^{-2\pi i A y})


[[Media:Leuven-jan2009-reeks2.pdf]]
==Academiejaar 2018-2019==
[[Media:Examen_AnalyseII_140219.pdf|Examen Analyse II 14 januari 2019]]
(vermoedelijke) oplossing (pas aan indien incorrect):
vraag 2: alpha > -1, beta > -2-2alpha
vraag 4: F_y: x\mapsto f(x,y)  is uniform continu voor alle y.


Met dank aan prof Vaes die sneller op de wiki was dan ik!
==Academiejaar 2017-2018==
[[Media:ExamenAnalyse2601.pdf|Examen Analyse II 26 januari 2018]]


===2009-16-01===
[[Media:Examen_Analyse_II_180115.pdf|Examen Analyse II 15 januari 2018]]
oplossing vraag 4: F(x) = pi/2 - arctan(x)


Originele opgave:
==Academiejaar 2016 - 2017==
[[Media:examen_analyse2.pdf|Examen Analyse II 16 januari 2017]]
noot: vraag 1: pg 223


[[Media:Leuven-16jan-2009.pdf]]
(vermoedelijke) oplossingen:
vraag 3: I = 2^(1-alpha)/(1-alpha) - 2^(2-alpha)/(2)alpha) als alpha < 1, oneindig otherwise


Niet-officiële (maar wel juiste) pdf:
vraag 4: alpha < 1, beta > 1- alpha/2


[[Media:ExamenAnalyseII2009.pdf]]
[[Media:Examen_Analyse_II.pdf|Examen Analyse II 3 februari 2017]]
(vermoedelijke) oplossingen:
vraag 2: K-loodrecht = {g in L²(|R) | voor alle gehele n is g bijna overal constant op [n, n+1)}. p_K(k)(x) = k(x) -integral(k(x), x in [n, n+1)}.
vraag 3: steeds in |R²\{(0,0)}, ook in (0,0) als alfa < 1/2
vraag 4: min{alfa, beta} < 1/2 < max{alfa, beta}
vraag 5: 2pi


==Academiejaar 2015 - 2016==
[[Media:analyse_11jan2016.pdf|Examen Analyse II 11 januari 2016]]
Oplossing: vraag 4) alpha > 1/2 --limiet = 2


==Academiejaar 2007-2008==
[[Media:Examen_29jan2016.pdf|Examen Analyse II 29 januari 2016]] NB: in academiejaar 2024-2025 stond de stelling niet meer op pg 132, maar op pg 197; de vraag is echter nog steeds dezelfde.
===2008-09-02===


Originele opgave:
==Academiejaar 2011 - 2012==
[[Media:AnalyseII-16januari2012.jpg|Examen Analyse II 16 januari 2012]]


[[Media:Leuven-sep2008.pdf]]
[[Media:Examen-leuven-reeks2-jan-2012.pdf|Examen Analyse II 1 februari 2012]]


# Beschouw de Hilbertruimte <math>L^2(\mathbb{R},\lambda) </math> uitgerust met de norm <math>||.||_2</math>. Definieer <math> \omega : L^2(\mathbb{R},)\lambda) \rightarrow \mathbb{C} : \omega(f) = \int_{[0,1]} xf(x)d\lambda(x) </math>. Toon aan dat <math>\omega</math> een goed gedefinieerde en continue lineaire afbeelding van <math>L^2(\mathbb{R},\lambda)</math> naar <math>\mathbb{C} </math> is. Bereken de norm <math>||\omega||</math>.
[[Media:Examen_Analyse_II_(augustus_2012).pdf|Examen Analyse II 6 september 2012]]
# Zij <math> f: [0,+\infty) \rightarrow[0,+\infty) </math> een positief meetbare functie. Toon heel nauwkeurig aan dat <math> \int_{\mathbb{R}^2} f(x^2+y^2)d\lambda(x,y) = \pi \int_{[0,+\infty)}fd\lambda.</math>
# Zij <math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} </math> een integreerbare functie en veronderstel dat f eveneens afleidbaar is. Op pagina 109 gingen we na dat <math> \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^A \hat{f}(t)e^{itx}dt = \int_{\mathbb{R}} f(x+y)D_A(y)dy </math> waarbij <math>D_A(y)= \frac{sin(Ay)}{\pi y}</math>.
## Toon nauwkeurig aan dat <math>lim_{A \rightarrow +\infty} \int_{[-1,1]} D_A(y)dy = 1 </math>. Je mag, zonder dit te bewijzen, gebruiken dat de functie <math> x \mapsto \frac{sin x}{x} </math> oneigenlijk integreerbaar is op <math>\mathbb{R}</math> met oneigenlijke integraal gelijk aan <math>\pi</math>.
## Toon aan dat voor alle <math>x \in \mathbb{R}</math>, <math> \int_{\mathbb{R}} f(x+y)D_A(y)dy-f(x)\int_{[-1,1]}D_A(y)dy \rightarrow 0 </math> als <math> A \rightarrow +\infty</math>. Hiervoor imiteer je het bewijs van de stelling van Dirichlet. Leid af dat voor alle <math> x \in \mathbb{R}</math>, <math> lim_{A \rightarrow + \infty} \frac{1}{2\pi} \int_{-A}^A \hat{f}(t)e^{itx}dt = f(x)</math>.
# In Definitie 1.11 definieerden we de norm <math>||A||</math> van een n bij n matrix <math> A \in M_n(\mathbb{R})</math>. Bewijs dat <math> ||A||=sup\{ |(A(x)).y| | x,y \in \mathbb{R}^n, ||x|| \leq 1, ||y|| \leq 1\}</math>. Hierbij noteerden we met . het gebruikelijke scalair product op <math>\mathbb{R}^n</math>.
# Verifieer de Stelling van Stokes voor het vectorveld <math> \mathbf{V}(x,y,z)=(y,0,0) </math> en het oppervlak O gegeven door <math> O = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2+y^2 \leq 1, z= e^x \}</math>.


===2008-06-23===
==Academiejaar 2009 - 2010 ==
[[Media:AnalyseII-28-jan-2010.pdf|Examen Analyse II 28 januari 2010 (Kortrijk)]]


Originele opgave:
[[Media:AnalyseII-27-jan-2010.pdf|Examen Analyse II 27 januari 2010]]


[[Media:Leuven-juni-2008-reeks2.pdf]]
[[Media:AnalyseII-11-jan-2010.pdf|Examen Analyse II 11 januari 2010]]


# Zij <math>X</math> een Banachruimte met norm <math>x \mapsto ||x||</math>. Zij <math>Y \subset X</math> een deelruimte. Toon aan dat <math>Y</math> uitgerust met de norm <math>y \mapsto ||y||</math> een Banachruimte is als en slechts als <math>Y</math> gesloten is in <math>X</math>.
==Academiejaar 2008-2009==
# Zij <math>f,g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> integreerbaar op <math>[0,2\pi]</math> en <math>2\pi</math>-periodisch. Voor welke <math>2\pi</math>-periodische functie <math>h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> integreerbaar op <math>[0,2\pi]</math>, geldt dat <math>\hat{h}(k) = \hat{f}(k)\hat{g}(k)</math> voor alle <math>k \in \mathbb{Z}</math>? Bewijs je antwoord.
[[Media:Leuven-jan2009-reeks2.pdf|Examen Analyse II 26 januari 2009]]
# Zij <math>f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2</math> totaal afleidbaar en definieer <math>g : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}: g(x,y) = ||f(x,y)||^2</math>, <math>h : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}: h(x,y) = ||f(x,y)||</math>. (a) Is <math>g</math> altijd totaal afleidbaar? Zo ja, bewijs en geef een formule voor <math>(dg)(x,y)</math>. Zo nee, geef een tegenvoorbeeld. (b) Zelfde vraag voor <math>h</math>.
# Noteer met <math>g_A : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> de functie gedefinieerd in Voorbeeld 4.29. Zij <math>f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> een integreerbare, begrensde, gelijkmatige continue functie. toon de volgende uitspraak aan: als <math>A \rightarrow \infty</math>, dan zal <math> \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} {f}(y)g_A(y) e^{ixy}dy \rightarrow f(x)</math> uniform in <math>x \in \mathbb{R}</math>. Hint: Dit is het analogon van de Stelling van Fejér voor Fouriertransformaties.
# Verifieer de Stelling van Stokes voor het oppervlak <math>\mathcal{O}</math> gegeven door <math>\mathcal{O} = \{(x,y,z) | 0 \leq z \leq 1, x^2 + 4y^2 = z^4\}</math> en het vectorveld <math>V(x,y,z) = (0,x,0)</math>.


4HEfCG  <a href="http://nyflaufixzcb.com/">nyflaufixzcb</a>, [url=http://ozakizhyqozf.com/]ozakizhyqozf[/url], [link=http://xexyvszsyjbr.com/]xexyvszsyjbr[/link], http://ghysoaqjrcfu.com/
[[Media:Leuven-16jan-2009.pdf|Examen Analyse II 16 januari 2009]]


=== 2008-01-21===
==Academiejaar 2007-2008==
[[Media:examen-jan2008-kortrijk.pdf||Examen Analyse I 21 januari 2008 (Kortrijk)]]


De opgave van 21 januari 2008 in Kortrijk:
[[Media:Leuven-juni-2008-reeks1.pdf|Examen Analyse II 9 juni 2008]]


[[Media:examen-jan2008-kortrijk.pdf|Analyse II examen 2008-01-21]]
[[Media:Leuven-juni-2008-reeks2.pdf|Examen Analyse II 23 juni 2008]]


[[Media:Leuven-sep2008.pdf|Examen Analyse II 2 september 2008]]


oRX8gF  <a href="http://ycxnbufdchte.com/">ycxnbufdchte</a>, [url=http://hntmxplfutdl.com/]hntmxplfutdl[/url], [link=http://xcjcuihzmvui.com/]xcjcuihzmvui[/link], http://wfnwkveldkuz.com/
==Academiejaar 2006-2007==
[[Media:Leuven-jan2007-reeks1.pdf|Examen Analyse II 19 januari 2007]]


==Ouder==
[[Media:Kortrijk-jan2007.pdf|Examen Analyse II 22 januari 2007 (Kortrijk)]]


=== 2006-09-05 ===
[[Media:Leuven-jan2007-reeks2.pdf|Examen Analyse II 26 januari 2007]]


[[Media:Analyse2Examen-aug2007.pdf|Examen Analyse II 27 augustus 2007]]
= Examens - Professor Van Daele =
== Academiejaar 2005-2006 ==
[[Media:Januari-2006.pdf|Examen Analyse II 23 januari 2006]]
===5 september 2006===
# Op de volgende vragen kan je antwoorden in enkele lijntjes.
# Op de volgende vragen kan je antwoorden in enkele lijntjes.
## Bewijs het lemma op p 17: <math>||AB||_{som} \leq ||A||_{som}||B||_{som}</math>
#*Bewijs het lemma op p 17: <math>||AB||_{\text{som}} \leq ||A||_{\text{som}}||B||_{\text{som}}</math>
## Onderaan p 18 concluderen we dat <math>\phi_y</math> een contractie is. Voor welke metriek is dit?
#* Onderaan p 18 concluderen we dat <math>\phi_y</math> een contractie is. Voor welke metriek is dit?
## Brengen volgende verzamelingen de Borel-<math>\sigma</math>-algebra op <math>\mathbb{R}^2</math> voort? Bewijs.
#* Brengen volgende verzamelingen de Borel-<math>\sigma</math>-algebra op <math>\mathbb{R}^2</math> voort? Bewijs.
### <math>\{[a,b] \times \mathbb{R} | a,b \in \mathbb{R}\}</math>
#** <math>\{[a,b] \times \mathbb{R} | a,b \in \mathbb{R}\}</math>
### <math>\{[a,b] \times \mathbb{R} | a,b \in \mathbb{R}\} \cup \{\mathbb{R} \times [c,d] | c,d \in \mathbb{R}\}</math>
#** <math>\{[a,b] \times \mathbb{R} | a,b \in \mathbb{R}\} \cup \{\mathbb{R} \times [c,d] | c,d \in \mathbb{R}\}</math>
### <math>\{[a,-a] \times [c,d] | a,c,d \in \mathbb{R}\}</math>
#** <math>\{[a,-a] \times [c,d] | a,c,d \in \mathbb{R}\}</math>
## Op p 106 bovenaan, bij het bewijs van de stelling van Dirichlet, gebruiken we het lemma van Riemann-Lebesgue. Op welke functie passen we dit toe? Toon nauwkeurig aan dat we dit mogen doen.
#* Op p 106 bovenaan, bij het bewijs van de stelling van Dirichlet, gebruiken we het lemma van Riemann-Lebesgue. Op welke functie passen we dit toe? Toon nauwkeurig aan dat we dit mogen doen.
# Neem <math>D_{\alpha} = \{0 < y, 0 < x < y^{\alpha} < 1 \} \subset \mathbb{R}^2</math>. Neem <math>f = \frac{1}{(x+y)^2}</math>. Voor welke <math>\alpha</math> is <math>\int_{D_{\alpha}}{f d\lambda} < \infty</math>?
# Neem <math>D_{\alpha} = \{0 < y, 0 < x < y^{\alpha} < 1 \} \subset \mathbb{R}^2</math>. Neem <math>f = \frac{1}{(x+y)^2}</math>. Voor welke <math>\alpha</math> is <math>\int_{D_{\alpha}}{f d\lambda} < \infty</math>?
# Een stuk theorie, analoog aan de stelling van Dirichlet (maar met <math>C^1</math> functies) afleiden in enkele stapjes. De exacte vraag weet ik niet meer.
# Zij <math>f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> een integreerbare functie en veronderstel dat <math>f</math> eveneens afleidbaar is. Op pagina 109 gingen we na dat <math>\frac{1}{2\pi}\int_{-A}^{A}\hat{f}(t)e^{itx}dt = \int_{\mathbb{R}}f(x+y)D_{A}(y)dy,</math> waarbij <math>D_{A}(y)=\frac{\sin(Ay)}{\pi y}</math>.
#* Toon nauwkeurig aan dat <math>\lim_{A \rightarrow \infty}\int_{[-1,1]}D_{A}(y)dy=1</math>. Je mag, zonder dit te bewijzen, gebruiken dat de functie <math>x \mapsto \frac{\sin x}{x}</math> oneigenlijk integreerbaar is op <math>\mathbb{R}</math> met oneigenlijke integraal gelijk aan <math>\pi</math>.
#* Toon aan dat voor alle <math>x \in \mathbb{R}</math>, <math>\int_{\mathbb{R}}f(x+y)D_{A}(y)dy - f(x)\int_{[-1,1]}D_{A}(y)dy \rightarrow 0</math> als <math>A \rightarrow \infty</math>. Hiervoor imiteer je het bewijs van de stelling van Dirichlet. Leid af dat voor alle <math>x \in \mathbb{R}</math>: <math>\lim_{A \rightarrow \infty} \frac{1}{2\pi}\int_{-A}^{A}\hat{f}(t)e^{itx}dt = f(x)</math>.
# Stel <math>V = (3x,2z,1)</math>, <math>K= \{(x,y,z) \in \mathbb{R} : x^2+y^2 \leq z^2/4\}</math>
# Stel <math>V = (3x,2z,1)</math>, <math>K= \{(x,y,z) \in \mathbb{R} : x^2+y^2 \leq z^2/4\}</math>
## Bewijs dat <math>\int_{\delta K}{\mathbf{V} \cdot \mathbf{n}} = 3</math>.
#* Bewijs dat <math>\int_{\delta K}{\mathbf{V} \cdot \mathbf{n}} = 3</math>.
## Verifieer de divergentiestelling voor <math>\mathbf{V}</math> en <math>K</math>.
#* Verifieer de divergentiestelling voor <math>\mathbf{V}</math> en <math>K</math>.
 
== Academiejaar 2004-2005 ==
[[Media:Examen_jan2005.pdf|Examen Analyse II januari 2005]]
 
[[Media:Examen_aug2005.pdf|Examen Analyse II augustus 2005]]
== Academiejaar 2003-2004 ==
[[Media:Examen_jan2004.pdf|Examen Analyse II januari 2004]]
 
[[Media:Examen_aug2004.pdf|Examen Analyse II augustus 2004]]


== Oudere examens ==
[[Categorie:2bw]]
[[Media:Oude analyse2 examens.rar|oudere examens]]
[[Categorie:3bf]]
[[Categorie:2bw]][[Categorie:3bf]][[Categorie:2bf]]

Huidige versie van 20 jan 2025 15:02

Didactisch Team

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding: Bestand is zoek
Prof. Stefaan Vaes
Academiejaar Professor(en)

VAES \heartspace

Assistent(en)
2019-2020 Professor1, Professor2 Assistent1, Assistent2
2020-2021 Professor1, Professor2 Assistent1, Assistent2

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Algemene informatie

Analyse 2 is deels schriftelijk en deels mondeling en open boek. Zorg ervoor dat je zeer secuur werkt, de prof hecht hieraan wel wat belang. Op het mondeling is professor Vaes zeer vriendelijk, en als je iets niet kan zal hij je er stap voor stap doorheen helpen.

Handig om deze vakken gevolgd te hebben:

Bewijzen en redeneren & Analyse I

Examens - Professor Vaes

Voorbeeldexamenvragen

Examenvraag

Examenvraag februari 2012

Examenvraag februari 2013

Examenvraag januari 2014

Verschillende examenvragen (2010-2013)

Academiejaar 2024-2025

Examen Analyse II 2024-2025

Academiejaar 2020-2021

Examen Analyse II 13 januari 2021

Academiejaar 2019-2020

Examen Analyse II 16 januari 2020

Examen Analyse II 30 januari 2020 Vraag 2: alfa < 1 en beta < gamma+1 Vraag 4: D_{A,B} = \frac{1}{2\pi y} (e^{2\pi i B y} - e^{-2\pi i A y})

Academiejaar 2018-2019

Examen Analyse II 14 januari 2019 (vermoedelijke) oplossing (pas aan indien incorrect): vraag 2: alpha > -1, beta > -2-2alpha vraag 4: F_y: x\mapsto f(x,y) is uniform continu voor alle y.

Academiejaar 2017-2018

Examen Analyse II 26 januari 2018

Examen Analyse II 15 januari 2018 oplossing vraag 4: F(x) = pi/2 - arctan(x)

Academiejaar 2016 - 2017

Examen Analyse II 16 januari 2017 noot: vraag 1: pg 223

(vermoedelijke) oplossingen: vraag 3: I = 2^(1-alpha)/(1-alpha) - 2^(2-alpha)/(2)alpha) als alpha < 1, oneindig otherwise

vraag 4: alpha < 1, beta > 1- alpha/2

Examen Analyse II 3 februari 2017 (vermoedelijke) oplossingen: vraag 2: K-loodrecht = {g in L²(|R) | voor alle gehele n is g bijna overal constant op [n, n+1)}. p_K(k)(x) = k(x) -integral(k(x), x in [n, n+1)}. vraag 3: steeds in |R²\{(0,0)}, ook in (0,0) als alfa < 1/2 vraag 4: min{alfa, beta} < 1/2 < max{alfa, beta} vraag 5: 2pi

Academiejaar 2015 - 2016

Examen Analyse II 11 januari 2016 Oplossing: vraag 4) alpha > 1/2 --limiet = 2

Examen Analyse II 29 januari 2016 NB: in academiejaar 2024-2025 stond de stelling niet meer op pg 132, maar op pg 197; de vraag is echter nog steeds dezelfde.

Academiejaar 2011 - 2012

Examen Analyse II 16 januari 2012

Examen Analyse II 1 februari 2012

Examen Analyse II 6 september 2012

Academiejaar 2009 - 2010

Examen Analyse II 28 januari 2010 (Kortrijk)

Examen Analyse II 27 januari 2010

Examen Analyse II 11 januari 2010

Academiejaar 2008-2009

Examen Analyse II 26 januari 2009

Examen Analyse II 16 januari 2009

Academiejaar 2007-2008

|Examen Analyse I 21 januari 2008 (Kortrijk)

Examen Analyse II 9 juni 2008

Examen Analyse II 23 juni 2008

Examen Analyse II 2 september 2008

Academiejaar 2006-2007

Examen Analyse II 19 januari 2007

Examen Analyse II 22 januari 2007 (Kortrijk)

Examen Analyse II 26 januari 2007

Examen Analyse II 27 augustus 2007

Examens - Professor Van Daele

Academiejaar 2005-2006

Examen Analyse II 23 januari 2006

5 september 2006

  1. Op de volgende vragen kan je antwoorden in enkele lijntjes.
    • Bewijs het lemma op p 17: ||AB||som≤||A||som||B||som
    • Onderaan p 18 concluderen we dat ϕy een contractie is. Voor welke metriek is dit?
    • Brengen volgende verzamelingen de Borel-σ-algebra op ℝ2 voort? Bewijs.
      • {[a,b]×ℝ|a,b∈ℝ}
      • {[a,b]×ℝ|a,b∈ℝ}∪{ℝ×[c,d]|c,d∈ℝ}
      • {[a,−a]×[c,d]|a,c,d∈ℝ}
    • Op p 106 bovenaan, bij het bewijs van de stelling van Dirichlet, gebruiken we het lemma van Riemann-Lebesgue. Op welke functie passen we dit toe? Toon nauwkeurig aan dat we dit mogen doen.
  2. Neem Dα={0<y,0<x<yα<1}⊂ℝ2. Neem f=1(x+y)2. Voor welke α is ∫Dαfdλ<∞?
  3. Zij f:ℝ→ℂ een integreerbare functie en veronderstel dat f eveneens afleidbaar is. Op pagina 109 gingen we na dat 12π∫−AAf^(t)eitxdt=∫ℝf(x+y)DA(y)dy, waarbij DA(y)=sin⁡(Ay)πy.
    • Toon nauwkeurig aan dat limA→∞∫[−1,1]DA(y)dy=1. Je mag, zonder dit te bewijzen, gebruiken dat de functie x↦sin⁡xx oneigenlijk integreerbaar is op ℝ met oneigenlijke integraal gelijk aan π.
    • Toon aan dat voor alle x∈ℝ, ∫ℝf(x+y)DA(y)dy−f(x)∫[−1,1]DA(y)dy→0 als A→∞. Hiervoor imiteer je het bewijs van de stelling van Dirichlet. Leid af dat voor alle x∈ℝ: limA→∞12π∫−AAf^(t)eitxdt=f(x).
  4. Stel V=(3x,2z,1), K={(x,y,z)∈ℝ:x2+y2≤z2/4}
    • Bewijs dat ∫δK𝐕⋅𝐧=3.
    • Verifieer de divergentiestelling voor 𝐕 en K.

Academiejaar 2004-2005

Examen Analyse II januari 2005

Examen Analyse II augustus 2005

Academiejaar 2003-2004

Examen Analyse II januari 2004

Examen Analyse II augustus 2004

Overgenomen van "http://examens.wina.be/index.php?title=Analyse_II&oldid=21506"